[最短路] aw1127. 香甜的黄油(单源最短路建图+模板题)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：1127. 香甜的黄油

相关链接：

• [图+最短路+模板] 五大最短路常用模板)

2. 题目解析

每个牧场都可以当做最短路起点，相当于多源最短路。

数据范围比较敏感，800 个牧场，选出一个作为放糖牧场，使所有在牧场上的奶牛到该放糖牧场的距离和最小。

相当于是确定一个放糖牧场，使其到其他牧场的距离和最短。 显然就是一个最短路问题，可以直接 Floyd 多源最短路求解，但是时间复杂度太高 $800^3=5.12\times 10^8$，也可以针对每个点使用一遍单源最短路，在此优先推荐堆优化 dijkstra，稳定能过，spfa 速度快，但容易被卡。

在此使用 spfa 实现，重点在于建图。现在只要写 spfa 就会用循环队列了。

---

时间复杂度：$O(nm)$

空间复杂度：$O(n)$

---

SPFA

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 805, M = 1455 * 2;

int n, p, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N], id[N];
bool st[N];
int q[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 返回以 S 牧场为起点，所有其它牧场的奶牛到 S 牧场的最短距离之和
int spfa(int S) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    int hh = 0, tt = 1;
    q[0] = S, dist[S] = 0, st[S] = true;
    
    while (hh != tt) {
        auto t = q[hh ++ ];
        
        if (hh == N) hh = 0;
        
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    q[tt ++ ] = j;
                    
                    if (tt == N) tt = 0;
                    
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int j = id[i];
        if (dist[j] == 0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;       // 某个牧场与当前的起点牧场不连通
        res += dist[j];
    }
    
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &p, &m);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", id + i);      // 记录奶牛所在牧场
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    int res = 1e9;
    for (int i = 1; i <= p; i ++ ) res = min(res, spfa(i)); // 每个牧场都作为起点，到其他各点的最短距离和
    
    printf("%d\\n", res);    // 题目保证一定有解，无解情况不需要判断
    
    return 0;
}