[Edp] lcLCP 07. 传递信息(暴搜+dp求方案+矩阵乘法+好题)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：LCP 07. 传递信息

2. 题目解析

数据量很小，也是常见的题型了，直接暴搜做就行了。

就询问能否从点 0，恰好经过 k 步到达点 n-1。那么可以直接暴力 dfs，k 数据范围很小，最大就是 5。dfs 代码非常容易理解，递归深度就是经过的层数，不会爆栈。

本题如果说是求一种合法方案，并且将答案搞得很大的时候，显然就是迭代加深了。

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在离散数学中图论部分有讲：邻接矩阵相乘 k 次后，A[i][j]=x 代表从 i 点到达 j 恰好经过 k 步的方案数。如果要求从 i 到 k 小于等于 k 步的方案数时，需要将前面的矩阵该位置数全部相加起来。

其实也就是可达矩阵。

关于证明请看这篇博文：矩阵乘法与邻接矩阵，也可在网上自行搜索证明过程。

本题就是一个裸的邻接矩阵相乘 k 次的问题了。

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本题 dp 也是可以处理的。

• 状态定义：f[i][j] 经过 i 步到从 0 点出发达点 j 的方案数。
• 初始化：f[0][0]=1 起点自身为 0 步。
• 状态转移：f[i][j]=f[i-1][k1]+f[i-1][k2]+f[i-1][k3]... 这些 k1、k2、k3 的下个点都是 j。
• 答案：f[k][n-1]。

这个状态转移十分自然，看程序即可。

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本题 bfs 也可行，按层拓展，拓展 5 层即可。

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时间复杂度：$O(n^k)$
空间复杂度：$O(n+k)$

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dfs暴搜

class Solution {
public:
    void dfs(int n, vector<vector<int>>& relation, int &k, int cur, int cnt, int& res) {
        if (cnt > k) return ;
        if (cur == n - 1 && cnt == k) {
            res ++ ;
            return ;
        }

        for (auto& e : relation) {
            if (e[0] == cur) {
                dfs(n, relation, k, e[1], cnt + 1, res);
            }
        }
    }

    int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
        int res = 0;
        dfs(n, relation, k, 0, 0, res);
        return res;
    }
};

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邻接矩阵乘法，代码摘自：离散数学，计算可达矩阵

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
struct node {
	ll mat[15][15];//定义矩阵 
}x,y;
int len;
node mul(node x,node y){//矩阵乘法 
	node tmp;
	for(int i=0;i<len;i++){
		for(int j=0;j<len;j++){
			tmp.mat [i][j]=0;
			for(int k=0;k<len;k++){
				tmp.mat [i][j]+=(x.mat [i][k]*y.mat [k][j])%mod;
			}
			tmp.mat [i][j]=tmp.mat[i][j]%mod;
		}
	}
	return tmp;
}
node matpow(node x,node y,int num){//矩阵快速幂 
	while(num){
		if(num&1){
			y=mul(y,x);
		}
		x=mul(x,x);
		num=num>>1;
	}
	return y;
}
class Solution {
public:
    int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
        node x,res;
        len = n;
        memset(x.mat,0,sizeof(x.mat));
        for(auto& e:relation){
            x.mat[e[0]][e[1]] = 1;
        }
        res = matpow(x,x,k-1);
        return res.mat[0][n-1];
    }
};

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dp：

class Solution {
public:
    int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
        vector<vector<int>> f(k + 1, vector<int>(n));
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= k; i ++ ) {
            for (auto e : relation) {
                int x = e[0], y = e[1];
                f[i][y] += f[i - 1][x];
            }
        }

        return f[k][n - 1];
    }
};

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bfs 按层拓展即可：

class Solution {
public:
    int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
        int res = 0;
        queue<int> q;
        q.push(0);
        int depth = 0;
        while (q.size()) {
            if (depth == k) {
                while (q.size()) {
                    auto t = q.front(); q.pop();
                    if (t == n - 1) res ++ ;
                }
                break;
            }

            int len = q.size();
            while (len -- ) {
                auto t = q.front(); q.pop();
                for (auto e : relation) {
                    int x = e[0], y = e[1];
                    if (x == t) {
                        q.push(y);
                    }
                }
            }
            depth ++ ;
        }

        return res;
    }
};