算法热门：环形链表I(LeetCode 141)

Posted 2021-07-27 白龙码~

你可能看过这道题的题解，但不一定看过对它深入的证明，而今天我的任务就是这个；

我们知道，链表拥有两种形态：单链表以及循环链表，其中，单链表指的是：链表仅有一个数据存储变量va和一个指向下一个结点的指针，而循环链表在单链表的基础上加了一个指向上一节点的指针；而我们今天所讨论的环形链表，不仅囊括了循环链表这种链接头尾的情况，还囊括了其它带环的情况——

情况分析

我们知道，循环链表的构成是这样的——

它的环是连接头尾的大环
而环形链表的环除此之外也可以是——

也就是说，链表中某两个结点相链接，构成了一个环，此外，带环的链表是单链表；

题目分析

我们来看具体题目：

这是我们需要完善的函数体

可以看到，题中的pos实际上是主函数部分的变量，用来形成一个环形链表，而对于只要完善函数的OJ题，由于函数的参数列表没有pos，并且返回值是一个bool值，所以我们不需要考虑pos这个变量。
那么所有的问题都集中在一个上面：如何判断链表是否带环？

最容易想到的是哈希表的思想，也就是说：每次都让指针走一个结点，然后判断这个节点之前是否出现过，不过对于绝大部分初学者而言，哈希表仅有耳闻而未接触，所以我们今天需要另想一种方法；

我们先简化一个环形链表的模型：

经历过前面的刷题我们发现，快慢指针法在链表OJ题中经常出现，那么这题我们是否也能采取快慢指针的方法呢？假设慢指针一次走一个结点，快指针一次走两个结点，那么快指针必然会在慢指针之前走到链表环的入口点；

当快慢指针继续走下去的时候，慢指针也会进入环，而快指针此时已经在环内走了N圈了；

当这种循环再进行下去，fast指针如果追上slow指针，就能判断出，链表有环；

问题来了，fast指针真的会追上slow指针吗？

证明

我们假设链表的头到环的入口的距离为L，环的长度为C，slow进入环后，与fast之间的距离为X；由于fast指针一次走两个节点，slow一次走一个节点，也就是说，fast指针比slow指针多走一步，那么如果它们继续走下去，则fast指针必然会追上slow；
如果还不理解，我们不妨把这样的一个追逐问题化为一条直线上的追逐问题：

假设还需走n次fast追上slow，那么也就是说：

解出来：n=x

也就是说，只要这样的循环再进行x次，fast必然会追上slow；
如果链表没有环，那么由于fast走得快，slow永远不可能追上它，从而我们可以判定：环存在！

代码实现

bool hasCycle(struct ListNode *head) {
    struct ListNode* slow=head,*fast=head;
    while(fast && fast->next)//由于fast一次走两个结点，那么需要保证fast和fast的next都不为空
    {
        fast=fast->next->next;//快指针走两个结点
        slow=slow->next;//慢指针走一个
        if(fast==slow)//快慢指针相遇
        {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

思考

当快指针一次走两结点，慢指针一次走一节点，那么快指针必然会追上慢指针；如果是其他情况呢？比如快指针走三个节点，甚至四个、五个、n个……
我们讨论快指针走三个结点的情况：

同样是这个图，slow与fast之间相差x
由于fast指针与slow指针的步长差为2，所以他们之间的距离变化为：
X-2
X-4
X-6
…
X-2N

当X是偶数时，X-2N可以为0，那么它们最终也可以相遇；

当X为奇数时，我们再看一下这个图：

当slow刚走到环入口时，slow指针走了L，fast指针走了nC+C-X,其中，n表示fast指针在slow入环之前在环内绕了n圈；又因为fast指针一次走两个节点，那么就满足：

如果X为奇数，那么(n+1)C就要是奇数，则n+1和C都要是奇数（偶数与任何数相乘都为偶数）
回到上面的X-2N的式子：

由于X为奇数，那么X-2N所得到的最小正整数为1，即：

当fast和slow之间的距离再次为X时，假设slow走了m次，则需要满足：

由于m小于C，也就是说，slow没走几步，就在一圈之内被fast又追上了，此时他们之间的距离为X，这就又回到了一开始的那样，然后又要X-2,X-4…X-N，如此循环往复，fast永远追不上slow！

小结

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