第五届蓝桥杯 ——地宫取宝

Posted 2021-07-24 业余算法学徒

题目描述
X 国王有一个地宫宝库，是 $n\times m$ 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 $k$ 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 $k$ 件宝贝。

输入格式
第一行 $3$ 个整数，$n,m,k$，含义见题目描述。
接下来 $n$ 行，每行有 $m$ 个整数 $Ci$ 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式
输出一个整数，表示正好取 $k$ 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 $1000000007$ 取模的结果。

样例输入1：
2 2 2
1 2
2 1

样例输出1：
2

样例输入2：
2 3 2
1 2 3
2 1 5

样例输出2：
14

数据范围
$1\le n,m\le 50$
$1\le k\le 12$
$0\le Ci\le 12$

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题解一（超时）
DFS：官网可得 42% 的分数；

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 55, MOD = 1e9 + 7;

int ans;
int n, m, k;
int g[N][N];

void dfs(int x, int y, int maxv, int k)
{
    if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) return;
    if(x == n && y == m)
    {
        if(k == 0) ans = (ans + 1) % MOD;
        if(k == 1 && g[x][y] > maxv) ans = (ans + 1) % MOD;
        return;
    }
    
    if(g[x][y] > maxv)
    {
        if(k > 0) 
        {
            dfs(x, y + 1, g[x][y], k - 1);
            dfs(x + 1, y, g[x][y], k - 1);
            dfs(x, y + 1, maxv, k);
            dfs(x + 1, y, maxv, k);
        }
        else
        {
            dfs(x, y + 1, maxv, 0);
            dfs(x + 1, y, maxv, 0);
        }
    }
    else
    {
        dfs(x, y + 1, maxv, k);
        dfs(x + 1, y, maxv, k);
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> g[i][j];
            
    dfs(1, 1, -1, k);
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

题解二
记忆化搜索：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 55, MOD = 1e9 + 7;

int n, m, k;
int g[N][N], f[N][N][15][15];

int dfs(int x, int y, int maxv, int k)
{
    if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) return 0;
    if(f[x][y][maxv + 1][k] != -1) return f[x][y][maxv + 1][k];
    if(x == n && y == m)
    {
        if(k == 0) return 1;
        if(k == 1 && g[x][y] > maxv) return 1;
        return 0;
    }
    
    int &v = f[x][y][maxv + 1][k] = 0;
    if(g[x][y] > maxv)
    {
        if(k > 0) 
        {
            v = (v + dfs(x, y + 1, g[x][y], k - 1)) % MOD;
            v = (v + dfs(x + 1, y, g[x][y], k - 1)) % MOD;
            v = (v + dfs(x, y + 1, maxv, k)) % MOD;
            v = (v + dfs(x + 1, y, maxv, k)) % MOD;
        }
        else
        {
            v = (v + dfs(x, y + 1, maxv, 0)) % MOD;
            v = (v + dfs(x + 1, y, maxv, 0)) % MOD;
        }
    }
    else
    {
        v = (v + dfs(x, y + 1, maxv, k)) % MOD;
        v = (v + dfs(x + 1, y, maxv, k)) % MOD;
    }
    
    return f[x][y][maxv + 1][k];
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> g[i][j];
    
    memset(f, -1, sizeof f);
    cout << dfs(1, 1, -1, k) << endl;
    return 0;
}

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