第十一届蓝桥杯（国赛）——补给

Posted 2021-07-24 业余算法学徒

题目描述
小蓝是一个直升飞机驾驶员，他负责给山区的 $n$ 个村庄运送物资。

每个月，他都要到每个村庄至少一次，可以多于一次，将村庄需要的物资运送过去。

每个村庄都正好有一个直升机场，每两个村庄之间的路程都正好是村庄之间的直线距离。

由于直升机的油箱大小有限，小蓝单次飞行的距离不能超过 $D$。每个直升机场都有加油站，可以给直升机加满油。

每个月，小蓝都是从总部出发，给各个村庄运送完物资后回到总部。如果方便，小蓝中途也可以经过总部来加油。

总部位于编号为 $1$ 的村庄。

请问，要完成一个月的任务，小蓝至少要飞行多长距离？

输入描述
输入的第一行包含两个整数 $n,D$，分别表示村庄的数量和单次飞行的距离。
接下来 $n$ 行描述村庄的位置，其中第 $i$ 行两个整数 $x_i,y_i$ ，表示编号为 $i$ 的村庄的坐标。

村庄 $i$ 和村庄 $j$ 之间的距离为 $\sqrt{(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2}$ 。

输出格式
输出一行，包含一个实数，四舍五入保留正好 $2$ 位小数，表示答案。

样例输入
4 6
1 1
4 5
8 5
11 1

样例输出
28.00

数据范围
$1\le n\le 20,1\le x_i,y_i\le 10^4,1\le D\le 10^5$ 。

---

题解
状压DP + 最短路径：

w[i][j]：从村庄 i 到村庄 j 之间的最短距离；
f[i][j]：从村庄 0 走到村庄 j ，且经过经过村庄的状态为 i 的最小飞行距离（将 1 映射成 0，以此类推）；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 20, INF = 1e9;

PII p[N];
double w[N][N];
double f[1 << N][N];

double get_distance(int i, int j)
{
    int x = p[i].first - p[j].first;
    int y = p[i].second - p[j].second;
    return sqrt(x * x + y * y);
}

int main()
{
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> p[i].first >> p[i].second;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = i + 1; j < n; j ++)
        {
            w[i][j] = w[j][i] = get_distance(i, j);
            if(w[i][j] > d) w[i][j] = w[j][i] = INF;
        }
        
    for (int k = 0; k < n; k ++)
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            for (int j = 0; j < n; j ++)
                w[i][j] = min(w[i][j], w[i][k] + w[k][j]);
                
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            f[i][j] = INF;
            
    f[1][0] = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            if(i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; k ++)
                    if((i - (1 << j)) >> k & 1)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);
                        
    double ans = INF;
    for (int i = 1; i < n; i ++)
        ans = min(ans, f[(1 << n) - 1][i] + w[i][0]);
        
    printf("%.2f", round(ans * 100) / 100);
    return 0;
}

ps：

• 然而这样写会超内存，2e7 × 8 ÷ 1024 ÷ 1024 = 152 MB，而题目的内存上限为 128 MB；
• 后来看了别人的题解，就是将 double 转换成 int，这样能节约一半的空间

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 20, INF = 1e9;

PII p[N];
int w[N][N], f[1 << N][N];

double get_distance(int i, int j)
{
    int x = p[i].first - p[j].first;
    int y = p[i].second - p[j].second;
    return sqrt(x * x + y * y);
}

int main()
{
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> p[i].first >> p[i].second;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = i + 1; j < n; j ++)
        {
            w[i][j] = w[j][i] = get_distance(i, j) * 10000;
            if(w[i][j] > d * 10000) w[i][j] = w[j][i] = INF;
        }
        
    for (int k = 0; k < n; k ++)
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            for (int j = 0; j < n; j ++)
                w[i][j] = min(w[i][j], w[i][k] + w[k][j]);
                
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            f[i][j] = INF;
            
    f[1][0] = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            if(i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; k ++)
                    if((i - (1 << j)) >> k & 1)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);
                        
    int ans = INF;
    for (int i = 1; i < n; i ++)
        ans = min(ans, w[i][0] + f[(1 << n) - 1][i]);
        
    printf("%.2f", ans / 10000.0);
    return 0;
}

---

蓝桥杯C/C++国赛历年题