二分查找在NOIP中的运用

Posted 2021-07-23 极客晨星少儿编程怀德校区

二分答案

学过我们趣味编程的同学都知道二分查找，它是一种效率较高的查找算法。那么，二分查找在信息学竞赛中到底有什么用呢？怎么样把它运用在我们具体的信息学题中呢？天老师就跟你们来探讨一下，信息学竞赛中的技巧--------二分答案。

有这么一个问题：光头强引进了一个强大的伐木工具，可以一根一根的锯倒木材。光头强设置一个高度参数H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度H，并锯掉所有的树比H高的部分（当然，树木不高于H米的部分保持不变）。光头强就得到树木被锯下的部分。

例如，如果一行树的高度分别为20，15，10和17，光头强把锯片升到15米的高度，切割后树木剩下的高度将是15，15，10和15，而光头强将从第1棵树得到5米，从第4棵树得到2米，共得到7米木材。

光头强受到熊大熊二吉吉国王等的压力，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他为什么尽可能高地设定伐木机锯片的原因。帮助光头强找到伐木机锯片的最大的整数高度H，使得他能得到木材至少为M米。换句话说，如果再升高1米，则他将得不到M米木材。

【输入格式】

第1行：2个整数N和M，N表示树木的数量（1<=N<=1000000）,M表示需要的木材总长度（1<=M<=2000000000）

第2行：N个整数表示每棵树的高度，值均不超过1000000000。所有木材长度之和大于M，因此必有解。

【输出格式】

第1行：1个整数，表示砍树的最高高度。

题解

当看到这个题目时，很自然的就会想到：

1、答案是唯一的

2、答案是有一定范围的(1米 ~ 最高的那颗树)

根据正常思维可以暴力破解该题，从1米开始寻找到最高的米数直到找到答案为止，毫无疑问这是能够解出答案的。但同学们会发现树木的数量和木材总长度数据范围过大，这样肯定会导致一个问题：用暴力枚举的方式必定无法通过题目所要求的运行时间(1s)。暴力破解能通过的测试点非常有限，所以能得20-30分，时间复杂度为O(n²)。

这时候我们就需要优化算法降低时间复杂度才能完美的通过。此问题的解，我们要从答案去思考，暴力解法是去遍历所有答案，本质上来说这就是搜索，逐个匹配从而寻找那个唯一的正解。

思考：这个答案除了具有之前我们所得到的特性外，还具有一个很重要的特性就是它是具有单调性的(从小到大)。我们就很自然的会想到优化这个搜索过程，可以采用二分查找去降低搜索的时间复杂度。每次取答案范围的中间值去比对，如果当前中间值所锯下的木头比M小，说明答案位于右区间，反之说明答案位于左区间，排除现有答案的一半。这个时候这个算法的时间复杂度降低为O(nlogn)。很明显这时候是一定可以满足该题运算时间1s的。

这是二分查找在信息学竞赛中的一类运用。

附带完整代码

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