Codeforces1541 D. Tree Array（期望，概率dp，lca）

Posted 2021-07-23 live4m

题意：

解法：

序列顺序和根有关,考虑枚举根,计算每个根的期望,求和之后除以n就行了.

考虑将每一对逆序对分开,分别计算逆序对出现的概率,概率就是出现的期望次数,
这也就能算出对期望的贡献,相加之后就是期望了.

O(n)枚举根,然后枚举点x和y,这里假设x<y考虑如何计算x比y后取的概率:
发现如果选到的点是不在x和y路径上的点,那么对x先取到还是y先取到没有影响,
那么问题等价为有两个盒子,一个盒子有len1个球,另一个有len2个球,
问len1先取完的概率.

其中len1就是x到lca(x,y)的距离,len2就是y到lca(x,y)的距离.

可以令d[i][j]表示左边i个球,右边j个球,左边先取完的概率,dp预处理即可.

枚举根O(n),枚举x和y O(n^2),总复杂度O(n^3).

code：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxm=205;
const int maxd=20;
const int mod=1e9+7;
vector<int>g[maxm];
int d[maxm][maxm];
int f[maxm][25];
int dep[maxm];
int n;
int ppow(int a,int b,int mod){
    int ans=1%mod;a%=mod;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void dfs(int x,int fa){
    f[x][0]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;
    for(int j=1;j<=maxd;j++){
        f[x][j]=f[f[x][j-1]][j-1];
    }
    for(int v:g[x]){
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,x);
    }
}
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    for(int i=maxd;i>=0;i--){
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
            x=f[x][i];
        }
    }
    if(x==y)return x;
    for(int i=maxd;i>=0;i--){
        if(f[x][i]!=f[y][i]){
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}
void solve(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b;cin>>a>>b;
        g[a].push_back(b);
        g[b].push_back(a);
    }
    //dp预处理
    //d[i][j]为左边i个数右边j个数,左边先取完的概率.
    int inv2=ppow(2,mod-2,mod);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        d[0][i]=1;
        d[i][0]=0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            d[i][j]=(d[i-1][j]+d[i][j-1])*inv2%mod;
        }
    }
    //
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){//枚举根
        dfs(i,0);
        for(int x=1;x<=n;x++){
            for(int y=1;y<x;y++){
                int lc=lca(x,y);
                int len1=dep[x]-dep[lc];
                int len2=dep[y]-dep[lc];
                ans=(ans+d[len1][len2])%mod;
            }
        }
    }
    //
    ans=ans*ppow(n,mod-2,mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    solve();
    return 0;
}

---