递归2之对青蛙跳台阶和斐波那契数列的思考

Posted 2021-07-22 zsQgqdsd1002

对青蛙跳台阶和斐波那契数列的思考

• 前言
• 一、青蛙跳台阶和斐波那契数列是什么？
• 二、两者的逐个实现
• • 1.青蛙跳台阶
  • 2.斐波那契数列
• 总结

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前言

昨天我算是初步了解了递归并且做了一定的练习，今天就来看一看递归的而两个经典案例：青蛙跳台阶和斐波那契数列的实现。

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一、青蛙跳台阶和斐波那契数列是什么？

青蛙跳台阶和斐波那契数列算是递归的两个经典案例了。

青蛙跳台阶就是说有一个青蛙，他面前有n级台阶，青蛙每次可以跳一级或者两级台阶，这个呢是根据青蛙的心情来看的，问青蛙跳这n级台阶有多少种跳法？

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

下面就来对他们用C语言逐个实现。

二、两者的逐个实现

1.青蛙跳台阶

猛地一看这个问题感觉好像很难解决，但是仔细一想其实也没那么难，这种时候使用逆推法有很好的效果。假设这个青蛙现在就处于第5级台阶，那青蛙跳到第5级台阶的前一步一定是跳到第4级或者第3级台阶上，第4级台阶和第3级台阶的前一步也是一定是这个规律，直到推导到青蛙处于第2级或者第1级台阶的时候停止。因为青蛙跳到第1级台阶一定只需要一步，而青蛙跳到第2级台阶则是最多需要两步。

分析完问题我们显然已经得到了递推公式：
Jump(n)=Jump(n-1)+Jump(n-2);
那限制条件根据前面的分析，也很容易的得到了，就是n==1或者n==2的时候，结束递归，因为这两个阶段n的值是已知的也是固定的。根据这两点我们可以开始编写程序了，代码如下：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
long long Jump(int n) {
	if ( n == 1){
		return 1;
}
	else if (n == 2) {
		return 2;
	}
	else {
		return Jump(n - 1) + Jump(n - 2);
	}
}
int main() {
	int a;
	scanf("%d", &a);
	long long b = Jump(a);
	printf("%lld", b);
	return 0;
}

在这里需要注意的是，用我用b来接收了Jump的返回值，而且我的Jump()函数和b的类型都是long long类型，而表示台阶数的n还有a都是int类型。这个其实是看个人了，因为随着台阶数目的增加，跳跃方式的增加是以很迅猛的速度增长的，可能已经超出了int类型所能表达的数字范围。给台阶数的类型为int是因为台阶数用int来表示已经够了，毕竟我们不能把青蛙累死，你们觉得呢？

2.斐波那契数列

我们仔细观察斐波那契数列发现，其从第三项开始，每一项都等于前两项的和。好嘛，递推公式直接就有了
Fib(n) = Fib(n - 1)+Fib(n - 2);
有点熟悉的感觉是不是，其实和上面的青蛙跳台阶是一样的递推公式，那么斐波那契数列的限制条件就应该是当(n == 1 || n == 2)时，结束递归。下面开始编写代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
long long Fib(int n) {
	if (n == 1 || n == 2) {
		return 1;
	}
	else {
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
}
int main() {
	int a;
	scanf("%d", &a);
	long long b = Fib(a);
	printf("%lld", b);
	return 0;
}

和上面一样同样是使用了long long类型的结果和int类型的变量，代码也是非常的通俗易懂，就不多赘述了。

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总结

其实青蛙跳台阶和斐波那契数列在本质上是没什么区别的，都是从第三项开始，每一项等于前两项之和，唯一的区别也就是初值不同，青蛙跳台阶在n == 1时为1，在n == 2时为2，而斐波那契数列则是(n == 1 || n == 2)时都为1。所以我觉得青蛙跳台阶其实就是斐波那契数列的童话版，其实重要的不是如何写代码，重要的是如何找到遇到这一类问题时，如何寻找递归的规律，如何去找到这个限制条件，培养的更是一种思想。

以上就是我这次的思想与感悟，如果有什么可以优化或者改正的地方，欢迎大佬联系我。