波动数列 dp

Posted 2021-07-21 中二病没有蛀牙

分析

首先设第一个数为$x$，则第二个数为$x+d_1$，第三个数为$x+d_1+d_2$。$d_1，d_2$表示$a$或者$-b$，所以这个数列为：$x,x+d_1,x+d_1+d_2,x+d_1+d_2+d_3$

就有：$$n\ast x+(n-1)\ast d_1+(n-2)\ast d_2+(n-3)\ast d_3+\dots +d_{n-1}=s$$
$$x=\frac{s-(n-1)\ast d_1+(n-2)\ast d_2+(n-3)\ast d_3+\dots +d_{n-1}}{n}$$
所以$s\%n=((n-1)\ast d_1+(n-2)\ast d_2+(n-3)\ast d_3+\dots +d_{n-1})\%n$

转化为一个组合问题，求前n个d的选址模n，和s%n相等。

一、状态表示：

1. 集合：$f[i][j]$表示只考虑前$i$项，且当前的总和除以n的余数是$j$的方案的集合
2. 属性：方案数

二、状态计算：

1. 集合的划分
   最后一次操作要么是$+a$，要么是$-b$
   $$f[i][j]=(f[i-1][(j-a\ast (n-i))\%n)]+f[i-1][(j+b\ast (n-i))\%n)])$$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1005;
#define mod 100000007
ll f[maxn][maxn];

ll slove(ll x,ll m){
    if(x > 0)
        return x % m;    
    else
        return (x % m + m )% m;
}
int main()
{
    ll n,s,a,b;
    cin>>n>>s>>a>>b;
    f[0][0] = 1;
    for(ll i = 1;i <= n;i++){
        for(ll j = 0;j < n;j++){
            f[i][j] = (f[i-1][slove(j - a * (n - i),n)] % mod + f[i- 1][slove(j + b * (n - i),n)] %mod) %mod;
        }
    }
    cout<<f[n - 1][slove(s,n)]<<endl;
    return 0;
}