蓝桥杯——数学专题

Posted 2021-07-21 中二病没有蛀牙

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了蓝桥杯——数学专题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

例题：等差数列辗转相除gcd

思路：求数组的最大公约数

等差数列 https://www.acwing.com/problem/content/1248/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
int a[maxn],b[maxn];

int gcd(int m,int n){
    if(n == 0) return m;
    return gcd(n, m % n);
}

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n;
    int f = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        cin>>a[i];
        if(a[i] != a[1])
            f = 0;
    }
    if(f) {
        cout<<n<<endl;
        return 0;
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        b[i - 1] = abs(a[i] - a[i - 1]);
    // cout<<gcd(70,20);
    int ans = b[1];
    for(int i = 1;i < n;i++){
        // cout<<b[i]<<" "<<ans<<" ";
        ans = gcd(b[i],ans);
        // cout<<ans<<endl;
    }
    cout<<abs(a[n] - a[1]) / ans + 1<<endl;
    return 0;
}

例题：X的因子链

例题https://www.acwing.com/problem/content/1297/
知识点：

算数基本定理——因式分解定理

可重复组合(多重集合组合数)

在这里插入图片描述

多重集合排列数

从有n个不同元素的集合任取r个元素的排列方式有：

$\\frac{n!} { (n-r)!}$
特别地 $P (n, n) = n!$

或者 $M=\\{k_1⋅a_1,k_2⋅a2,⋯,k_n⋅a_n\\}$
(其中每个 $a_i$ 代表是不同的元素，每个元素 $a_i$ 有 $k_i$ 个， $k_i$ 可以是有限数，也可以是∞。)

多重集合 $M={k_1⋅a_1,k_2⋅a2,⋯,k_n⋅a_n}$ 的 $r$ 排列数为 $k r$

多重集合 $M =\\{k_1⋅a_1,k_2⋅a2,⋯,k_n⋅a_n\\}$ 的全排列数为： $\\frac{(k1+k2+⋯+kn)!}{k1!k2!⋯kn!}$

素数筛线性筛

线性筛板子：

int pri[N+9>>1],now;
bool vis[N+9];
void init(){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i])pri[++now]=i;
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<=N;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}

代码（分解质因数版）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1500005;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
int vis[maxn];
ll answer = 1;

ll cal(int x){
    ll res = 1;
    for(int i = 1;i <= x ;i++)
        res *= (1ll*i);
    return res;
}

int main()
{
    int x;
    while(cin>>x){
        int sum = 0,tot = 0 ;
        // ans.clear();
        // memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i = 2;i * i <= x; i++){
            vis[++sum] = 0;
            while (x  % i == 0)
            {
                x /= i;
                vis[sum]++;
                tot++;
            }      
        }
        if(x != 1){
            vis[++sum] = 0;
            vis[sum]++;
            tot++;
        }
        answer = cal(tot);
        // cout<<sum<<" "<<answer<<endl;
        for(int i = 1;i <= sum ; ++i){
            for(int j = 1;j <= vis[i] ;++j)
                answer /= j;
        }
        cout<<tot <<" "<< answer<<endl;
    }
    return 0;
}