概率论与数理统计:随机事件与概率
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论与数理统计:随机事件与概率相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
概率论与数理统计(1):随机事件与概率
此系列博客是出于想要锻炼自己形成知识体系的能力的目的，在备考过程中整理，
参考教材为《概率论与数理统计》.机械工业出版社.孙振绮 主编、《概率论与数理统计》.高等教育出版社.盛骤 编
一.随机事件
1.随机试验
随机试验特点：
①可重复性：可在相同条件下重复进行
②可观察性：每次试验可能结果不止一个，并能事先明确所有可能结果
③随机性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
例如：抛一枚硬币，观察出现正面的次数；
2.定义1（样本空间，样本点）
随机试验的每一个可能的结果，称为一个样本点e或ω，所有样本点组成的集合称为样本空间S或Ω
**注：**样本点也称为基本事件
例：写出样本空间
·掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况：
e1=“正面”,e2=“反面” ，S={e1,e2}
·掷一枚骰子，观察点数
S={1,2,3,4,5,6}
·观察某城市某月内交通事故发生次数
S={0,1,2,…}
·从一批灯泡中随机地抽取一只灯泡，测试其寿命t
S={t|t≥0}
·对目标进行射击，直到击中为止，1表示击中，0表示未击中，记录射击结果
S={1,01,001,0001,…}
3.定义2（随机事件）
样本空间S的任意一个子集A，称为一个随机事件，简称“事件”
注：事件A发生即在一次试验中，事件A中的某个样本点出现
二.事件的关系与运算
事件是集合，故事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理
而在概率论中，这些运算有其在概率论中的提法，可以根据“事件发生”的含义，给出它们在概率论中的含义
1.事件的包含：A⊂B
事件A发生时，事件B一定发生
2.事件的相等：A=B
若A⊂B，且B⊂A，则称事件A与B相等
3.事件A与B的并（和）
A∪B（或A+B) = “事件A,B至少有一个发生”
n个事件的并：
∪
i
=
1
n
A
i
\\mathop\\cup\\limits^n_{i=1}A_i
i=1∪nAi=“事件A1,A2,…,An至少有一个发生”
可数个事件的并：
∪
i
=
1
∞
A
i
\\mathop\\cup\\limits^{\\infty}_{i=1}A_i
i=1∪∞Ai=“事件A1,A2,…至少有一个发生”
4.事件A与B的交（积）
A∩B（或AB）=“事件A,B同时发生”
n个事件的交：
∩
i
=
1
n
A
i
\\mathop\\cap\\limits^n_{i=1}A_i
i=1∩nAi=”事件A1,A2,…,An同时发生“
可数个事件的交：
∩
i
=
1
∞
A
i
\\mathop\\cap\\limits^{\\infty}_{i=1}A_i
i=1∩∞Ai=“事件A1,A2,…同时发生”
5.互斥事件 AB=∅：A,B不能同时发生
6.对立事件： A ‾ = S − A \\overline{A}=S-A A=S−A=“事件A不发生”
性质：事件A与B对立 ⟺ A B = ∅ 且 A ∪ B = S \\iff AB=∅ 且A∪B=S ⟺AB=∅且A∪B=S
对立事件
⇒
\\Rightarrow
⇒互斥事件
互斥事件
⇏
\\not\\Rightarrow
⇒对立事件
7.事件A与B的差
A-B=“事件A发生，B不发生”= A B ‾ A\\overline{B} AB
8.事件的运算律
①交换律：
A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A A\\cap B=B\\cap A ,A\\cup B=B\\cup A A∩B=B∩A,A∪B=B∪A
②结合律：
( A B ) C = C ( A B ) , ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (AB)C=C(AB),(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=C(AB),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
③分配律：
A ( B ∪ C ) = A B ∪ A C , A ∪ ( B C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A(B\\cup C)=AB\\cup AC, A\\cup(BC)=(A\\cup B)\\cap(A\\cup C) A(B∪C)=AB∪AC,A∪(BC)=(A∪B)∩(A∪C)
④摩根律：
A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ , A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \\overline{A\\cap B}=\\overline{A}\\cup\\overline{B},\\overline{A\\cup B}=\\overline{A}\\cap\\overline{B} A∩B=A∪B,A∪B=A∩B
∪ i = 1 n A i ‾ = ∩ i = 1 n A i ‾ , ∩ i = 1 n A i ‾ = ∪ i = 1 n A i ‾ \\overline{\\mathop{\\cup}_{i=1}^{n}A_i}=\\mathop{\\cap}_{i=1}^n \\overline{A_i} , \\overline{\\mathop{\\cap}_{i=1}^nA_i}=\\mathop{\\cup}^n_{i=1}\\overline{A_i} ∪i=1nAi=∩i=1nAi,∩i=1nAi=∪i=1nAi
总结一下摩根律，即为：交的补=补的并，并的补=补的交
（长横变短横，开口调个头）
三.古典概率
1.定义1（概率）
事件A发生可能性大小的数值，称为A的概率，记为P(A)
2.定义2（古典概率）
样本空间满足有限性（只有有限个样本点）和等可能性（每个样本点出现的可能性相等）的随机试验为古典概型试验，事件A的概率：
$$
$$
P ( A ) = A 包 含 的 样 本 点 数 S 包 含 的 样 本 点 总 数 P(A)=\\frac{A包含的样本点数}{S包含的样本点总数} P(A)=S包含的样本点总数A包含的样本点数
3.定理1（古典概率性质）
（1）P(∅)=0 ,P(S)=1
（2）0≤P(A)≤1
（3）若A，B互斥，即AB=∅则P(A+B)=P(A)+P(B)
推广：若A1,A2,…,An两两互斥，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
4.加法公式
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A 3 ) − P ( A 1 A 2 ) − P ( A 1 A 3 ) − P ( A 2 A 3 ) + P ( A 1 A 2 A 3 ) P(A_1∪A_2∪A_3 )=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) −P(A_1A_2)-P(A_1A_3 )-P(A_2A_3 ) +P(A_1A_2A_3) P(A1∪A2∪A3以上是关于概率论与数理统计:随机事件与概率的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章