集合论：集合及其应用
Posted 临风而眠
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了集合论：集合及其应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
集合及其应用
文章目录
一.集合的概念
何为集合
①不严格定义
看过这篇博客的人可以构成一个集合，通过百度搜索引擎找到这篇博客的人可以构成一个集合，在CSDN内部搜索到这篇博客的人可以构成一个集合，通过关键字搜索遇到这篇博客的人可以构成一个集合，浏览的时候无意间看到这篇博客的人也可以构成一个集合…
在朴素集合论体系中,“ 集合”是一个原始概念， 在朴素集合论中“集合”不能严格定义，直观一点说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合(通常用大写英文字母来标记)，而这些事物就是这个集合的元素。
我们的键盘上就可以找出好多集合：如26个字母键的集合，10个数字键的集合，功能键组成的集合，光标控制键组成的集合等等
集合是最基本的离散结构，其他所有离散结构都建立于集合之上。
②集合与元素关系
集合与其元素就两种关系，要么元素 ∈ \\in ∈(属于)集合，要么元素 ∉ \\notin ∈/（or ∈ ‾ \\overline{\\in} ∈)（不属于）集合（集合的确定性） ，“属于”其实也是一个原始概念。
③集合的表示方法
（1）列举法
可以想成花名册，要罗列出来.，格式为：列出元素，用逗号隔开，用花括号括起来，如果元素很多，且符合一定常识，可以用" ⋯ " "⋯"来替代一部分。
如：设A是小于5的正整数的集合，则 A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A=\\{1,2,3,4\\} A={1,2,3,4}
注意无序性（元素不能重复出现）和互异性（集合中元素无顺序之分），
（2）描述法
就是通过描述作为集合的元素所具有的性质来刻画一个集合，一般形式为： { x ∣ x 具 有 性 质 P } \\{x|x具有性质P\\} {x∣x具有性质P}，读作满足P的所有x的集合
如：还是上面那个例子，设A是小于5的正整数的集合，则 A = { x ∣ x 是 小 于 5 的 正 整 数 } A=\\{x|x是小于5的正整数\\} A={x∣x是小于5的正整数}
（3）两种方法转换
有时可以互相转换，上面所举的例子说明了这一点；而有时候不行，如[0,1]中的所有实数构成的集合就无法用列举法来表示。
二.子集、集合的相等
1. 子集
①定义
设 A A A、 B B B是两个集合，若 A A A中的每个元素都是 B B B中的元素，则称 A A A是B的子集，记作 A ⊆ B A\\subseteq B A⊆B
还是用前面那段中二的话来表述😆，通过百度搜索引擎找到这篇博客的人可以构成一个集合，在CSDN内部搜索到这篇博客的人可以构成一个集合，这两个集合是看到这篇博客的人所构成的集合的子集
同时，还是前面那个 { 1 , 2 , 3 , 4 } \\{1,2,3,4\\} {1,2,3,4}的例子， { 1 , 2 , 3 } ⊆ { 1 , 2 , 3 , 4 } \\{1,2,3\\}\\subseteq\\{1,2,3,4\\} {1,2,3}⊆{1,2,3,4}
②符号语言
A ⊆ B ⟺ ∀ x , x ∈ A → x ∈ B o r A ⊆ B ⟺ ∀ x ∈ A , x ∈ B o r A ⊆ B ⟺ ∀ x ∉ B → x ∉ A A\\subseteq B\\iff\\forall x,\\quad x\\in A\\rightarrow x\\in B\\\\or\\quad A\\subseteq B \\iff\\forall x\\in A,x\\in B\\\\or\\quad A\\subseteq B \\iff \\forall x\\notin B\\rightarrow x\\notin A A⊆B⟺∀x,x∈A→x∈BorA⊆B⟺∀x∈A,x∈BorA⊆B⟺∀x∈/B→x∈/A
③“ ⊆ \\subseteq ⊆”的性质
（1） A ⊆ A A\\subseteq A A⊆A
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