集合论：映射
Posted 临风而眠
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了集合论：映射相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
集合论(2):映射
一.函数 、映射
1.映射与函数的关系
(1)定义
设 X X X 与 Y Y Y是两个非空集合，若根据某一法则 f f f，使X中每一个元素 x x x，使 X X X中的每一元素 x x x总有 Y Y Y中的唯一确定的元素 y y y与之对应，则称 f f f是集合 X X X到集合 Y Y Y的映射。
若** X X X 与 Y Y Y是两个数集，就是函数的定义**
(2)基本术语
“ f f f是 X X X到 Y Y Y的映射”常记为 f ： X → Y f：X\\rightarrow Y f：X→Y
设 x x x对应 y y y，常称作 x x x在 f f f下的象为 y y y，常记作 f ( x ) f(x) f(x)， x x x是 y y y的原象
X X X称为 f f f的定义域. 集合 { f ( x ) ∣ x ∈ X } \\{f(x)|x\\in X\\} {f(x)∣x∈X}称为 f f f的值域或象，记为 I m ( f ) I_m(f) Im(f)
2.映射与笛卡尔积
(1)定义
设 X X X 和 Y Y Y是两个非空集合，一个从 X X X到 Y Y Y的映射是一个满足以下两个条件的 X × Y X\\times Y X×Y 的子集 f f f：
(1) 对
X
X
X的每一个元素
x
x
x, 存在一个
y
∈
Y
y\\in Y
y∈Y, 使得
(
x
,
y
)
∈
f
(x,y)\\in f
(x,y)∈f;
(2) 若
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
′
)
∈
f
(x,y),(x,y')\\in f
(x,y),(x,y′)∈f, 则
y
=
y
′
y=y'
y=y′
3.限制
定义
设 f : X → Y , A ⊆ X , f:X\\rightarrow Y,A\\subseteq X, f:X→Y,A⊆X, 当把 f f f的定义域限制在 A A A上时, , 就得到了一个: φ : A → Y , ∀ x ∈ A , φ ( x ) = f ( x ) , φ \\varphi:A\\rightarrow Y,\\forall x\\in A,\\varphi (x)=f(x),\\varphi φ:A→Y,∀x∈A,φ(x)=f(x),φ被称为 f f f在A上的限制，且常用 f ∣ A f|A f∣A来代替 φ \\varphi φ，反过来，我们说 f f f是 φ \\varphi φ在 X X X上的扩张。
4.特殊映射
①单射
定义：
设 f : X → Y f:X\\rightarrow Y f:X→Y,如果 ∀ x , x ′ ∈ X \\forall x,x'\\in X ∀x,x′∈X,只要 x ≠ x ′ x \\ne x' x=x′，就有 f ( x ) ≠ f ′ ( x ) f(x)\\ne f'(x) f(x)=f′(x),则称f为从X到Y的单射
②满射
定义：
设 f : X → Y f:X\\rightarrow Y f:X→Y,如果 ∀ y ∈ Y \\forall y\\in Y ∀y∈Y, ∃ x ∈ X \\exists x\\in X ∃x∈X,使得 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y则称 f f f为从 X X X到 Y Y Y的满射
③双射（一一对应）
定义
设 f : X → Y f:X\\rightarrow Y f:X→Y,若 f f f既是单射又是漫射，则 f f f是双射或称为一一对应，也称 X X X与 Y Y Y对等，记为 X ∼ Y X\\sim Y X∼Y
④恒等映射
定义
设 f : X → X f:X\\rightarrow X f:X→X,如果 ∀ x ∈ X , f ( x ) = x \\forall x\\in X,f(x)=x ∀x∈X,f(x)=x,则称 f f f为 X X X上的恒等映射。 X X X上的恒等映射常记为 I x I_x Ix或者 l x l_x lx
X X X上的恒等映射只有一个，恒等映射是双射
⑤部分映射
定义
设 f : A → Y , A ⊆ X , f:A\\rightarrow Y,A\\subseteq X, f:A→Y,A⊆X,则 f f f是 X X X上的一个部分映射
⑥特殊映射的一些定理
定理：
设 A A A和以上是关于集合论：映射的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章