集合论：关系

Posted 2021-07-19 临风而眠

集合论(3):关系

文章目录

• 集合论(3):关系
• • 一.关系的概念
  • • 1.关系的定义
    • • ①定义1
      • ②定义2
    • 2.关系的术语
    • • ①全关系
      • ②空关系
      • ③恒等关系
      • ④定义域和值域
      • ⑤A到B的关系个数
      • ⑥二元关系到n元关系的推广
  • 二.关系的性质
  • • 1.自反关系
    • 2.反自反关系
    • 3.对称关系
    • 4.反对称关系
    • 5.传递关系
    • 6.相容关系
    • 7.关系的逆
    • 8.关系的集合运算
    • • ①
      • ②二元关系的笛卡尔积
      • ③二元关系R的余积
  • 三.关系的合成运算
  • • 1.定义
    • 2.结合律
    • 3.交并运算的分配律
    • 4.关系的逆的合成
    • 5.传递
    • 6.关系幂运算
    • • ①定义
      • ②定理
      • ③定理
      • ④定理
  • 四.关系的闭包
  • • 1.哪些关系存在闭包
    • 2.传递闭包
    • • ①定义1
      • ②定义2
      • ③$R^{+}$必须满足传递闭包的三个条件
      • • （1）$R^{+}\supseteq R$
        • （2）$R^{+}$是传递的二元关系
        • （3）$R^{+}$是包含R的传递的二元关系中“最小的”
      • ④定理 设R为X上的二元关系，则：
      • ⑤定理 设X为n元集，R为X上的二元关系，则：
      • ⑥定理（性质）
    • 3.自反闭包
    • • ①定义
      • ②定理
      • • r(R)必须满足自反闭包的三个条件
    • 4.自反传递闭包
    • • ①定义
      • ②定理（自反传递关系计算）
      • • $R^{\ast }$必须满足自反传递闭包的四个条件
    • 5.对称闭包
    • • ①定义
      • ②定理
      • • s(R)必须满足自反闭包的三个条件
      • ③定理（性质）
  • 五.关系矩阵
  • • 1.定义
    • 2.性质
    • • • （1）R是自反的$⟺$B的对角线上的全部元素都为1
        • （2）R是反自反的$⟺$B的对角线上的全部元素都为0
        • （3）R是对称的，$\forall b_{ij}=1,则b_{ji}=1$$⟺$B是对称矩阵
        • （4）R是反对称的，$⟺$i≠j时，$b_{ij}和b_{ji}$不同时为1
        • （5）R是传递的，$⟺$如果$b_{ij}=1且b_{jk}=1$，则$b_{ik}=1$
        • （6）$R^{-1}$对应矩阵B的转置
  • 六.等价关系和集合的划分
  • • 1.等价关系定义
    • 2.等价类定义
    • 3.集合划分的定义
    • • ①说法1
      • ②说法2
    • 4.等价类和集合划分的关系
    • • • ①定理（一个等价关系确定一个划分）
        • ②定理（一个划分确定一个等价关系）
        • • 说法一
          • 说法二
        • ③X的一个划分和X的等价关系是一一对应，且互相确定
        • ④等价关系R确定的划分是R的所有等价类之集 { [ x ] ∣ x ∈ X } \\{[x]|x\\in X\\} {[x]∣x∈X}
    • 5.商集
    • 6.等价闭包
  • 七.偏序关系与偏序集
  • • 1.偏序关系的定义
    • 2.偏序集的定义
    • 3.全序关系与全序集
    • • 定义
    • 4.前驱后继
    • 5.哈斯图（目的是简化关系图）
    • 6.链和反链
    • 7.上界和下界
    • 8.最大最小元素
    • 9.上下确界
    • 10.极大极小元素
    • 9.上下确界
    • 10.极大极小元素

一.关系的概念

1.关系的定义

①定义1

设A,B 是两个集合, , 一 个从A ×B到{是 ,否} 的映射 R, 称为从A 到B的一个二元关系, , 或A与B间的一个二元关系。

​ $\forall (a,b)\in A\times B$, 如果 ( a,b)在R下的象为 “ 是 ” ，则a与b符合关系R ，记为$aRb$，如果 ( a,b)在R下的象为 “ 否 ” ，则a与b不符合关系R ，记为$a/Rb$

​ 若 A=B, 则称R为A上的二元关系。

②定义2

​ 设A、B是两个集合,A×B的任一子集R称为从A到B的一个二元关系

2.关系的术语

①全关系

​ A×B也是A×B的一个子集，按定义A×B也是从A到B的一个二元关系。我们把A×B叫做A到B的全关系

②空关系

​ 空集 $\varphi$叫做A到B的空关系

③恒等关系

​ 集合 { ( a , a ) ∣ a ∈ A } \\{( a,a)|a\\in A\\} {(a,a)∣a∈A} 称为A上的恒等关系或相等关系，并记为$I_A$

④定义域和值域

​ 设$R\subseteq A\times B$ ，
​ 集合 { x ∣ x ∈ A 且 ∃ y ∈ B 使 得 ( x , y ) ∈ R } \\{x|x \\in A且\\exists y\\in B使得 (x,y)\\in R\\} {x∣x∈A且∃y∈B使得(x,y)∈R}称为R的定义域，并记为dom®

​ 集合 { y ∣ y ∈ B 且 ∃ x ∈ A 使 得 ( x , y ) ∈ R } \\{y|y \\in B且\\exists x\\in A使得 (x,y)\\in R\\} {y∣y∈B且∃x∈A使得(x,y)∈R}称为R的值域，并记为ran®

⑤A到B的关系个数

​ 一般地：$|A\times B|=m$,那么A到B上就有$2^m$个关系。

⑥二元关系到n元关系的推广

​ 设$A_1,A_2,...,A_n$是 是n 个集合，一个的$A_1\times A_2\times ...\times A_n$的子集R 称为
$A_1,A_2,...,A_n$间的n 元关系，每个$A_i$ 称为R 的一个域 。

二.关系的性质

1.自反关系

​ 设R为X上的二元关系，若R是自反的，则$\forall x\in X,xRx$

​ $R$是自反的$⟺$$I_X\subseteq R$

2.反自反关系

​ 设R为X上的二元关系，若R是反自反的，则$\forall x\in X,x/Rx$

​ 反自反的二元关系必然不是自反的，自反的二元关系必然不是反自反的

​ 不是自反的二元关系，不一定是反自反

​ 设X是一个集合，则X上的自反二元关系和反自反二元关系一样多(反自反并上$I_X$就是自反，自反去掉$I_X$就是反自反)

3.对称关系

​ 设R为X上的二元关系，若$\forall x,y\in X,只要xRy就有yRx$,则称R是对称的

4.反对称关系

​ 设R为X上的二元关系，对$\forall x,y\in X,若：xRy且yRx$,则 x = y x=y x=<

以上是关于集合论：关系的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

集合论(基础+二元关系+函数)

如何判断两个集合的关系？

Python中怎样改变集合之间的关系？

集合论基础

怎样判断哪个集合属于哪个集合

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