图论：树和割集
Posted 临风而眠
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了图论：树和割集相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
图论(2):树和割集
一.树
1.树定义
通且无圈的无向图称为无向树, 简称树
一个没有圈的不连通的无向图称为无向森林, ,简称森林
仅有一个顶点的树称为平凡树
2.关于树的等价命题
（1）G是树
（2） G 的任意两个不同顶点间有唯一的一条路联结
（3） G 是连通的且p=q+1
（4） G 中无圈且p=q+1
（5） G 中无圈且G中任意两个不邻接的顶点间加一条边,则得到一个有唯一的一个圈的图
（6） G 是连通的, 并且若p≥3, 则G 不是 K p K_p Kp ,G 中任意两个不邻接的顶点间加一条边,则得到一个有唯一的一个圈的图
推论：
任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点
（注：一度顶点又称为叶节点）
3.极小连通图
定义
连通图G称为是极小连通图, ,如果去掉G的任意一条边后得到的都是不连通图
推论
图G是树当且仅当G是极小连通图
4.偏心率、半径
设 G=(V,E) 是连通图 , v ∈ V v\\in V v∈V,数 e ( v ) = max u ∈ V { d ( v , u ) } e(v)=\\max\\limits_{u\\in V}\\{d(v,u)\\} e(v)=u∈Vmax{d(v,u)} 称为 v 在G中的偏心率(即v到其他顶点的最大距离)
数 r ( G ) = min u ∈ V { e ( v ) } r(G)=\\min\\limits_{u\\in V}\\{e(v)\\} r(G)=u∈Vmin{e(v)}称为G的半径，满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点,G 的所有中心点组成的集合称为G的中心,G 的中心记为C(G)
定理：每棵树的中心或含有一个顶点, 或含有两个邻接的顶点
二.生成树
1.生成树定义
设G=(V, E) 是一个图, G 的一个生成子图T=(V, F) 如果是树, 则称T 是G 的生成树
若图G 有生成树, 则G 是连通的, 所以不连通图没有生成树
2.生成树性质
①定理：G有生成树的充要条件是G连通
推论： 设G 是一个(p, q) 连通图,则q≥p-1
（树是连通图中边最少的）
定义：设G是一个图若G的生成子图F是一个森林,则F称为G的一个生成森林
（任意图都有生成森林）
②定理：完全图生成树
具有p 个顶点的完全图 K p K_p Kp 有 有 p p − 2 p^{p-2} pp−2棵生成树, p≥2
③定理
设G=(V, E)是连通图, T 1 = ( V , E 1 ) T_1=(V, E_1) T1=(V,E1)和 T 2 = ( V , E 2 ) T_2=(V, E_2) T2=(V,E2) 是G 的两个不同的生成树, 如果 e 1 ∈ E 1 ∖ E 2 e_1\\in E _1\\setminus E_2 e1∈E1∖E2 ,则 ∃ e 2 ∈ E 1 ∖ E 2 \\exists e_2\\in E _1\\setminus E_2 ∃e2∈E1∖E2使得 ( T 1 − e 1 ) + e 2 (T_1 -e_1)+e_2 (T1−e1)+e2 为 为G 的一棵生成树。
3.生成树间的距离
定义
设 T 1 , T 2 T_1,T_2 T1,T2是G的生成树, , 是 T 1 T_1 T1的边但不是 T 2 T_2 T2的边的条数k称为 T 1 与 T 2 T_1与T_2 T1与T2 的距离, , 记为 d ( T 1 , T 2 ) = k d(T_1,T_2)=k d(T1,T2)=k
定义距离要满足三个条件，分别是：(1) 非负性 (2) 对称性 (3)满足三角不等式
其中(3): d ( T 1 , T 2 ) ≤ d ( T 1 , T 3 ) + d ( T 3 , T 2 ) d(T_1,T_2)\\leq d(T_1,T_3)+d(T_3,T_2) d(T1,T2)≤d(T1,T3)+d(T3,T2)
4.生成树间的变换
基本变换
若
d
(
T
1
,
T
2
)
d(T_1,T_2)
d(T1,T2)=1,则
T
1
T_1
T1 中有一条边
e
1
e_1
e1 不在
T
2
T_2
T2中 ,
T
2
T_2
T2中也有一条边不在
T
1
T_1
T1 中,
T
2
=
(
T
1
−
e
1
)
+
e
2
T_2 =(T_1-e_1)+e_2
T2=(T1−e1)+e2
它称为从
T
1
T_1
T1 到
T
2
T_2
T2的一个基本树变换。
变换
设 T 0 T_0 T0 和T 是G 的两距离为k的生成树, ,则从 T 0 T_0 T0 开始经k 次基本树变换便可得到T
5.最小生成树的定义
给定边带权连通图 G,G 中边的权是一个非负实数, ,生成树中各边的权之和称为该生成树的权
G 的生成树中权最小的那个生成树就是最小生成树
最小生成树不一定唯一
6 .最小生成树的Kruskal 算法
设
G
=
(
V
,
E
,
w
)
\\mathrm{G=(V,E,w)}
G=(V,E,w) 是一个连通的边带权图, ,边上的权函数w非负，
{
(
V
1
,
E
1
)
,
(
V
2
,
E
2
)
,
.
.
.
,
(
V
k
,
E
k
)
}
\\{(V_1,E_1),(V_2,E_2),...,(V_k,E_k)\\}
{(V1,E1),(V2,E2),...,(V
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：割边割集割点