概率论与数理统计:参数估计
Posted 临风而眠
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概率论与数理统计(7):参数估计
引入：
理论依据：
文章目录
一.点估计
何为点估计：设总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数未知，借助于总体X的一个样本来估计未知参数的值的问题称为参数的点估计问题
此问题一般提法为：设总体X的分布函数 F ( x ; θ ) F(x;\\theta) F(x;θ)的形式为已知， θ \\theta θ是待估参数， X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn是 X X X的一个样本， x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn是相应的一个样本值，点估计问题就是要构造一个适当的统计量 θ ^ ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) , \\hat{\\theta}(X_1,X_2,\\cdots,X_n), θ^(X1,X2,⋯,Xn),用它的观察值 θ ^ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) \\hat{\\theta}(x_1,x_2,\\cdots,x_n) θ^(x1,x2,⋯,xn)作为未知参数 θ \\theta θ的近似值.
称 θ ^ ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) \\hat{\\theta}(X_1,X_2,\\cdots,X_n) θ^(X1,X2,⋯,Xn)为 θ \\theta θ的估计量， θ ^ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) \\hat{\\theta}(x_1,x_2,\\cdots,x_n) θ^(x1,x2,⋯,xn)为 θ \\theta θ的估计值
矩估计法和极大似然估计法是两种最常用的构造估计量的方法
1.矩估计
设总体 X X X为连续型随机变量，其概率密度 f ( x ; θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k ) , f(x;\\theta_1,\\theta_2,\\cdots,\\theta_k), f(x;θ1,θ2,⋯,θk),或 X X X为离散型随机变量，其分布律为 P { X = k } = p ( x ; θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k ) P\\{X=k\\}=p(x;\\theta_1,\\theta_2,\\cdots,\\theta_k) P{X=k}=p(x;θ1,θ2,⋯,θk)，其中 θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k \\theta_1,\\theta_2,\\cdots,\\theta_k θ1,θ2,⋯,θk为待估参数， X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn是来自 X X X的样本，假设总体 X X X的前 k k k阶矩
μ l = E ( x l ) = ∫ − ∞ ∞ x l f ( x ; θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k ) d x ( X 连 续 型 ) \\mu_l=E(x^l)=\\int^{\\infty}_{-\\infty}x^lf(x;\\theta_1,\\theta_2,\\cdots,\\theta_k)dx\\qquad (X连续型) μl=E(xl)=∫−∞∞xlf(x;θ1,θ2,⋯,θk)dx(X连续型)
或 μ l = E ( x l ) = ∑ x ∈ R X x l p ( x ; θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k ) ( X 离 散 型 ) \\mu_l=E(x^l)=\\sum\\limits_{x\\in R_X} x^lp(x;\\theta_1,\\theta_2,\\cdots,\\theta_k)\\qquad (X离散型) μl=E(xl)=x∈RX∑xlp(x;θ1,θ2,⋯,θk)(X离散型)
（ l = 1 ， 2 ， ⋯ k , R X 为 可 能 的 取 值 范 围 ） （l=1，2，\\cdots k,R_X为可能的取值范围） （l=1，2，⋯k,RX为可能的取值范围）
存在，一般来说，它们是 θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k \\theta_1,\\theta_2,\\cdots,\\theta_k θ1,概率论与数理统计 Chapter4. 参数估计