微积分——曲面积分

Posted 2021-07-19 临风而眠

曲面积分

文章目录

• 曲面积分
• • 一.第一型曲面积分
  • • 1.性质
    • 2.几何意义
    • 3.计算
  • 二.第二型曲面积分
  • • 1.有向曲面及有向曲面的投影
    • 2.与第一型曲面积分的联系
    • 3.性质
    • • ①可加性
      • ②有向性
      • ③线性性质
      • ④
    • 4.计算
    • • ①分面计算法
      • • （1）计算$\underset{\Sigma }{\iint }Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }R\cos \gamma dS$
        • （2）计算$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz=\underset{\Sigma }{\iint }P\cos \alpha dS$
        • （3）计算$\underset{\Sigma }{\iint }Qdxdz=\underset{\Sigma }{\iint }Q\cos \beta dS$
      • ②统一到一个坐标面计算
  • 三.高斯公式
  • • 1.高斯公式
    • • （表达了空间有界区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系）
    • 2.通量
    • • 定义：
    • 3.散度
    • • 定义
  • 四.斯托克斯公式
  • • 1.斯托克斯公式
    • • 注
    • 2.空间第二型曲线积分与路径无关性质
    • 3.环流量与旋度

一.第一型曲面积分

对面积的曲面积分

1.性质

​ 完全类似于第一型曲线积分

2.几何意义

​ 被积函数$f(x,y,z)=1,$曲面面积为${\iint }_{\Sigma }dS$

3.计算

​ 化为二重积分

​ 设有光滑曲面
$$\Sigma :z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$$
$f(x,y,z)$在$\Sigma$上连续，则曲面积分${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$存在，且有
$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{\Sigma }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^{\prime 2}(x,y)+z_y^{\prime 2}(x,y)}dxdy$$

其中，$dxdy$是$dS$在$xOy$平面上的投影

若曲面方程为

​ $x=x(y,z),(y,z)\in D_{yz}$或$y=y(x,z),(x,z)\in D_{xz}$,方法类似

二.第二型曲面积分

在坐标面投影的曲面积分

1.有向曲面及有向曲面的投影

曲面可分为双侧曲面、单侧曲面

选定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量的指向表示

设$\Sigma$为有向平面，其面积为$\Delta S$，$\Sigma$在$xOy$面上的投影记为$(\Delta S{)}_{xy},\Sigma$在$xOy$面上的投影面积为$(\Delta \sigma {)}_{xy}⩾0,$则规定$(\Delta S{)}_{xy}=\Delta S\cos \gamma$

​ $(\Delta \sigma {)}_{xy}=\Delta S|\cos \gamma |$

即
$$(\Delta S{)}_{xy}=\{\begin{array}{lr}(\Delta \sigma {)}_{xy}& 当\cos \gamma >0\\ -(\Delta \sigma {)}_{xy}& 当\cos \gamma <0\\ 0& 当\cos \gamma =0\end{array}$$
类似可规定$(\Delta S{)}_{xz},(\Delta S{)}_{yz}$

设$\Sigma$为有向曲面，其面积为$\Delta S$，$\Sigma$在$xOy$面上的投影记为$[从头学数学]\; 第238节\; 曲线积分与曲面积分$

曲线曲面积分的关系

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约束曲面上的数值积分

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