微积分——数项级数
Posted 临风而眠
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数项级数
引入
给定一个无穷序列 u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n , . . . u_1,u_2,u_3,...,u_n,... u1,u2,u3,...,un,...,将各项依次相加，简记为 ∑ n = 1 ∞ u n \\sum\\limits_{n=1}^\\infty u_n n=1∑∞un,即 ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . \\sum\\limits_{n=1}^\\infty u_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n+... n=1∑∞un=u1+u2+u3+...+un+...
称 ∑ n = 1 ∞ u n \\sum\\limits_{n=1}^\\infty u_n n=1∑∞un为无穷级数，其中第n项 u n u_n un叫做级数的一般项
各项都是常数的级数，叫做（常）数项级数
以函数为项的级数，叫做函数项级数
级数 ∑ n = 1 ∞ u n \\sum\\limits_{n=1}^\\infty u_n n=1∑∞un的前n项和 S n = ∑ k = 1 n u k = u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n S_n=\\sum\\limits^n_{k=1}u_k=u_1+u_2+u_3+...+u_n Sn=k=1∑nuk=u1+u2+u3+...+un称为级数的部分和， S 1 , S 2 , S 3 , . . . . S_1,S_2,S_3,.... S1,S2,S3,....构成部分和数列 { S n } \\{S_n\\} {Sn}
若 lim n → ∞ S n = S \\lim\\limits_{n\\rightarrow \\infty}S_n=S n→∞limSn=S存在，则称该级数收敛，并称 S S S为级数的和，记作
S = ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ S=\\sum_{n=1}^\\infty u_n=u_1+u_2+u_3+\\cdots +u_n+\\cdots S=n=1∑∞un=u1+u2+u3+⋯+un+⋯
若 lim n → ∞ S n \\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}S_n n→∞limSn不存在，则称数项级数发散
文章目录
- 数项级数
- 一.收敛数列
- 1.定义
- 2.性质
- ① ∑ n = 1 ∞ a n \\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}a_n n=1∑∞an与 ∑ n = 1 ∞ k ⋅ a n \\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}k\\cdot a_n n=1∑∞k⋅an敛散性相同
- ②若 ∑ k = 1 ∞ a n = S , ∑ n = 1 ∞ b n = σ , 则 ∑ n = 1 ∞ α a n + β b n = α S + β σ \\sum\\limits_{k=1}^{\\infty}a_n=S,\\sum\\limits_{n=1}^\\infty b_n=\\sigma,则\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}\\alpha a_n+\\beta b_n=\\alpha S+\\beta\\sigma k=1∑∞an=S,n=1∑∞bn=σ,则n=1∑∞αan+βbn=αS+βσ
- ③若
∑
n
=
1
∞
a
n
\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}a_n
n=1∑∞an收敛，
∑
n
=
1
∞
b
n
\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}b_n
n=1∑∞bn发散，则
∑
n
=
1
∞
以上是关于微积分——数项级数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章