高等数学常用的泰勒级数
Posted 九死九歌
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了高等数学常用的泰勒级数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
做个高数的笔记，也顺便练一下L a T e X语法。
e
x
=
∑
n
=
0
+
∞
x
n
n
!
e^x=\\sum^{+\\infty}_{n=0}\\frac{x^n}{n!}
ex=n=0∑+∞n!xn
sin
x
=
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
\\sin{x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}(-1)^{n-1}\\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
sinx=n=0∑+∞(−1)n−1(2n−1)!x2n−1
cos
x
=
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
\\cos{x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}(-1)^{n}\\frac{x^{2n}}{(2n)!}
cosx=n=0∑+∞(−1)n(2n)!x2n
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
+
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
\\ln{(1+x)}=\\sum^{+\\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\\frac{x^n}{n}
ln(1+x)=n=1∑+∞(−1)n−1nxn
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
+
∞
A
α
n
n
!
(1+x)^\\alpha=\\sum^{+\\infty}_{n=0}\\frac{A^n_\\alpha}{n!}
(1+x)α=n=0∑+∞n!Aαn
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
+
∞
x
n
\\frac{1}{1-x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}x^n
1−x1=n=0∑+∞xn
1
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
+
∞
(
n
−
1
)
x
n
\\frac{1}{(1-x)^2}=\\sum^{+\\infty}_{n=1}(n-1)x^n
(1−x)21=n=1∑+∞(n−1)xn
每个公式对应的L a T e X代码
| 函数 | L a T e X代码 |
|---|---|
| e x e^x ex | e^x=\\sum^{+\\infty}_{n=0}\\frac{x^n}{n!} |
| sin x \\sin{x} sinx | \\sin{x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}(-1)^{n-1}\\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} |
| cos x \\cos{x} cosx | \\cos{x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}(-1)^{n}\\frac{x^{2n}}{(2n)!} |
| ln ( 1 + x ) \\ln{(1+x)} ln(1+x) | \\ln{(1+x)}=\\sum^{+\\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\\frac{x^n}{n} |
| ( 1 + x ) α (1+x)^\\alpha (1+x)α | (1+x)^\\alpha=\\sum^{+\\infty}{n=0}\\frac{A^n\\alpha}{n!} |
| 1 1 − x \\frac{1}{1-x} 1−x1 | \\frac{1}{1-x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}x^n |
| 1 ( 1 − x ) 2 \\frac{1}{(1-x)^2} (1−x)21 | \\frac{1}{(1-x)^2}=\\sum^{+\\infty}_{n=1}(n-1)x^n |
最后一个的证明：
∵ 1 1 − x = ∑ n = 0 + ∞ x n ∵\\frac{1}{1-x}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}x^n ∵1−x1=∑n=0+∞xn
且 d ( 1 1 − x ) d x = 1 ( 1 − x ) 2 且\\frac{d(\\frac{1}{1-x})}{dx}=\\frac{1}{(1-x)^2} 且dxd(1−x1)=(1−x)21
∴ 1 ( 1 − x ) 2 = d ( 1 1 − x ) d x = ∑ n = 0 + ∞ d ( x n ) d x ∴\\frac{1}{(1-x)^2}=\\frac{d(\\frac{1}{1-x})} {dx}=\\sum^{+\\infty}_{n=0}\\frac{d(x^n)}{dx} ∴(1−x)21=dxd(1−x1)=∑n=0+∞dxd(xn)
=
∑
n
=
0
+
∞
n
x
n
−
1
=
∑
n
=
1
+
∞
(
n
−
1
)
x
n
=\\sum^{+\\infty}_{n=0}nx^{n-1}=\\sum^{+\\infty}_{n=1}(n-1)x^{n}
=∑n=0+∞nxn−1=∑n=1+∞(n−1)x