acm选修课——动态规划

Posted 2021-07-19 出尘呢

动态规划

• 动态规划
• • 动态规划
  • • 概念
    • 对比
    • 证明
  • 例题
  • • 1.最长上升子序列
    • 2.数塔
    • 3.最长公共子序列
    • 4.字符串的修改
    • 5.海盗分赃
    • 6.The Uxuhul Voting System
  • 附加题：
  • • 1.Doing Homework HDU - 1074【状压dp】
    • 2.hdu1024 max sum plus plus

动态规划

动态规划

概念

求最优，
满足最优性原理：
有最优子结构，从小规模最优化到大规模最优化
又名：记忆化搜索

对比

贪心：从小到大
分治：子问题求解独立

证明

求状态转移方程的过程
就是暴力剪枝，记忆化搜索

例题

1.最长上升子序列

http://poj.org/problem?id=2533

找最长上升子序列
优化：可以想到，f[i]，第i个上升子序列的最小值，是持续递增的（反证法），以此改成了二分

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#ifdef LOCAL
FILE*fp=freopen("text.in","r",stdin);//文件忘记注释害人不浅！！ 
#endif
int a[1005],f[1005]; //第i个的最小值 
signed main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	int cnt=0;
	memset(f,0x3f,sizeof(int)*(n+1));
	f[0]=-1;//注意边界数据。。 
	//可以想到，是持续递增的，可以以此二分 
	for(int i=0;i<n;i++){
		int l=0,r=cnt,m=(l+r)/2;//初始化 
		while(l<r){
			if(f[m]<a[i]&&f[m+1]>=a[i])break;
			if(f[m+1]<a[i])l=m+1;
			if(f[m]>=a[i])r=m;
			m=(l+r)/2;//注意顺序 
		}
		f[m+1]=a[i];
		if(m==cnt)cnt++;
		/*for(int j=cnt;j>=0;j--){
			if(f[j]<a[i]&&f[j+1]>=a[i]){
				f[j+1]=a[i];
				if(j==cnt)cnt++;
			}
		}*/
	}
	printf("%d\\n",cnt);
	return 0;
}

2.数塔

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084
自底向上

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
int a[1005],f[1005]; //第i个的最小值 
signed main(){
	int n;
	freopen("text.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	int cnt=0;
	memset(f,0x3f,sizeof(int)*(n+1));
	f[0]=-1;//注意边界数据。。 
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=cnt;j>=0;j--){
			if(f[j]<a[i]&&f[j+1]>a[i]){
				f[j+1]=a[i];
				if(j==cnt)cnt++;
			}
		}
	}
	printf("%d\\n",cnt);
	return 0;
}

3.最长公共子序列

https://www.luogu.com.cn/problem/P1439

1.正常想法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
FILE*fp=freopen("text.in","r",stdin);
#endif
int a[100003],b[100003],s[2][100003];//滚动数组节省空间 
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=t;i++){
		scanf("%d",&b[i]);
	}
	
	for(int i=1;i<=t;i++){
		s[i%2][0]=0;
		for(int j=1;j<=t;j++){
			if(a[i]==b[j]){
				s[i%2][j]=s[(i+1)%2][j-1]+1;
			}else{
				s[i%2][j]=max(s[i%2][j-1],s[(i+1)%2][j]);
			}
		}
	} 
	printf("%d\\n",s[t%2][t]);
	return 0;
}

2.这里数据量大，利用不重复，化二公共匹配为按另一个一个中顺序为优先级的一上升子序列为好

#include<bits/stdc++.h>
#ifdef LOCAL
FILE*fp=freopen("text.in","r",stdin);//文件忘记注释害人不浅！！ 
#endif
using namespace std;
map<int,int>m;
int a[100005],f[100005];
signed main(){
	int n,te;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&te);
		m[te]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&te);
		a[i]=m[te];
	}
	memset(f+1,0x3f,sizeof(int)*(n+1));
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0,r=cnt,m=(l+r)/2;
		while(l<r){
			if(f[m]<a[i]&&f[m+1]>=a[i])break;
			if(f[m+1]<a[i])l=m+1;
			else r=m; 
			m=(l+r)/2;
		}
		f[m+1]=a[i];
		if(m==cnt)cnt++;
	}
	printf("%d",cnt);
	return 0;
}

4.字符串的修改

https://www.luogu.com.cn/problem/P2758

5.海盗分赃

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1538

6.The Uxuhul Voting System

http://acm.hnu.cn/online/?action=problem&type=show&id=10526&courseid=0

附加题：

1.Doing Homework HDU - 1074【状压dp】

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1074

#include<bits/stdc++.h>
#ifdef LOCAL
FILE*FP=freopen("text.in","r",stdin);
#endif
#define int long long 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
char str[15][102];
int d[15],c[15],s[1<<15],p[1<<15];
int Day(int now){
	int sum=0,cnt=0;
	while(now){
		if(now&1)sum+=c[cnt];
		now>>=1;
		cnt++;
	}
	return sum;
}
void print(int num){
	if(num==0)return;
	print(num-(1<<p[num]));
	printf("%s\\n",str[p[num]]);
}
signed main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0;i<n;i++){
			scanf("%s%d%d",str[i],&d[i],&c[i]);
		}
		s[0]=0;
		int num=(1<<n)-1;
		for(int i=1;i<=num;i++){
			s[i]=INF;
			int day=Day(i);
			for(int j=0;j<n;j++){
				if(!((i>>j)&1))continue;//再次提醒：！单目优先级高 
				int te=s[i-(1<<j)]+max(0LL,day-d[j]);
				if(te<=s[i]){
					s[i]=te;
					p[i]=j;
				}
			}
		}
		printf("%lld\\n",s[num]);
		print(num);
	}
	return 0;
}

2.hdu1024 max sum plus plus

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[N],s[N],p[N];
int t,m,n,ma;
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		memset(s,0,sizeof(int)*(n+2));
		memset(p,0,sizeof(int)*(n+2));
		for(int i=1;i<=m;i++){
			//ma=-INF;
			for(int j=i;j<=n;j++){
				s[j]=max(s[j-1],p[j-1])+a[j];
				if(j==i)p[j-1]=-INF,s[j-1]=-INF;
				else p[j-1]=max(p[j-2],s[j-1]);
				//p[j-1]=ma;//完成上行使命2333 
				//ma=max(ma,s[j]);//由于s[i-1]是可能更大的，所以要-INF 
			}
		}
		printf("%d\\n",*max_element(s+m,s+n+1));
	}
}