道路建设（牛客竞赛）（最小生成树prim+kruskal）（详细讲解）

Posted 2021-07-18 行码棋

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道路建设

题解（最小生成树）

kruskal

需要掌握的知识(前备知识)：

1.并查集的使用

2.图的边的存储（结构体存储）（还有其他的存储方式，本题以结构体存储为例）

kruskal算法步骤：

1.首先做好所有的初始化工作：

• 并查集初始化（很容易忘的）
• 结构体存边

2.对所有边按权值从小到大进行排序，因为是最小生成树嘛，肯定是从小的权值往大的权值挑选边的。

3.对每条边进行遍历，记录当前访问的边的两个的点，查找这两个点的父亲节点，如果两个父亲节点一样，说明他们在一个集合里面，他们之前已经连通了，此时如果再连，就会形成回路，所以要跳过去，进行下一层循环

4.对父亲节点不一样的点，把他们的父亲节点设为一样的，为加入到最小生成树的操作，同时更新最小生成树的权值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e2+10;
struct edge
{
    int u,v,w;
}e[N*N];
ll n,m,c,f[N];
ll find(ll x){return x==f[x] ? x :(f[x]=find(f[x]));}//路径压缩
bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.w<b.w;
}
void kruskal()
{
    ll ans = 0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;//注意初始化
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {//查找父亲节点
        int a = find(e[i].u);
        int b = find(e[i].v);
        if(a==b)continue;//父亲节点一样，会形成回路，去掉这种情况
        f[b] = a;
        ++cnt;
        ans += e[i].w;
    }
    if(ans > c) cout<<"No\\n";
    else cout<<"Yes\\n";
}
int main()
{
    while(cin>>c>>m>>n)
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
            cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
        kruskal();
    }
    return 0;
}

prim

这个有很多注意点的：

我就是g[][]数组没有初始化找了很长时间的错误，而且vis数组，dis数组都要初始化

我想口述一下对这个算法的理解：

prim算法就是对每个节点进行遍历，最小生成树一定包括所有的节点

把最小生成树当做一个点的集合

从一个节点开始遍历，找距离这个集合最近的点（对集合中所有的点来说），刚开始这个集合为空，所有点到这个集合距离都初始化为inf；

到遍历第二个点时因为第一个点加入了最小生成树，如果这两个点存在路径,t = j，ans就会加上这个路径的权值。

每次对点的循环进行的过程就是：
找距离最小生成树点集合最小的点，标记该点，更新所有点到新加入最小生成树集合的点的距离

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 105;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N];
int dis[N],res;
ll c,n,m;
bool vis[N];
void prim()
{
    res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) g[i][i] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i] = inf,vis[i] = false;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t = -1;
        //找距离最小生成树集合的距离最近的点
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!vis[j] && (t==-1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
        }
        if(i && dis[t]==inf)
        {
            res = inf;
            return;
        }
        if(i) res += dis[t];
        vis[t] = true;//将该点加到最小生成树的集合
        for(int j=1;j<=n;j++) dis[j] = min(dis[j],g[t][j]);
        //因为前面加了一个t节点，是新加入的节点，所以需要更新所有点到这个点的最短距离，因为之前没有这样的值更新
    }
}
int main()
{
    while(cin>>c>>m>>n)
    {
        memset(g,inf,sizeof(g));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int u,v,w;
            cin>>u>>v>>w;
            g[u][v] = g[v][u] = min(w,g[u][v]);
        }
        prim();
        if(res > c) cout<<"No\\n";
        else cout<<"Yes\\n";
    }
    return 0;
}