数论知识整理

Posted 2021-07-18 行码棋

数论知识整理

1.整除

b|a,表示b整除a 或 a能被b整除，b%a=0

带余数除法：a,b为两个整数，存在q，r使a = bq + r，0<=r<b, 且q，r唯一

2.模运算

a mod b = a%b

取模运算的性质：加减乘

c++中，负数取模结果为负数，遵循使商尽可能大的原则

-5%3=-2，有时负数取模需要加上被除数使除数变为正数

除法取模：需要逆元

3.快速幂logn

4.gcd

gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

gcd(a,b) = gcd(b,a-b)

lcm = a*b/gcd(a,b)

性质：

可重复性贡献：gcd(a,b,c) = gcd(gcd(a,b),c) lcm也一样

gcd(a,0) = a,gcd(a,b) = gcd(a,-b)

5.类欧几里得算法

6.扩展欧几里得算法exgcd

6.1 ax+by=gcd(a,b)

ax+by=gcd(a,b)一定存在$$x_0，y_0$$整数解

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)   //x和y使用引用
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int g = exGcd(b, a%b, x, y);    //递归计算exGcd（b,a%b）
    int temp = x;             //存放x的值
    x = y;
    y = temp - (a/b)*y;       //更新y = x(old) - a/b*y(old)
    return g;                 //g是gcd
}

定理1：
$对于ax+by=gcd(a,b)设有整数解x_0,y_0$

$$则所有解为\{\begin{array}{ll}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k& k\in Z\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k& k\in Z\end{array}$$

6.2 ax+by=c

定理二：
ax+by=c有整数解的充要条件：gcd(a,b)|c,即gcd(a,c)可以整除c。

可以通过扩展欧几里得求解任意ax+by=c的方程解：

把ax+by=gcd(a,b) 等式两边同时乘上$\frac{c}{gcd(a,b)}$,方程变为$a\ast \frac{c\ast x}{gcd(a,b)}+b\ast \frac{c\ast y}{gcd(a,b)}=c$

则其中$一个解为\{\begin{array}{l}x=\frac{x_0\ast c}{gcd(a,b)}\\ y=\frac{y_0\ast c}{gcd(a,b)}\end{array}$，其中$x_0,y_0$是扩展欧几里得算法求解出来的$x_0,y_0$

7.同余和逆元

7.1. 同余

a和b模m同余，即$a\equiv b(modm)$

解同余方程：$ax\equiv b(modm)$

可以这样理解：

ax是m的y倍再加上余数，即ax = my + b，移项得ax-my=b，因为y为整数，所以上式也等价于ax+my=b。

这就是欧几里得提到的方程组。

• 只有当gcd(a,m)能够整除b时才有解。

• 根据上面欧几里得的算法就可以求出一组解，对应的$x_0$即为一个解

7.2 逆元

求解$ax\equiv 1(modm)$,则求解出来的$x_0$称为a模m的逆，即为a的一个逆元。

• 等价于求解ax+my=1

求解出来的逆元可能是负数，最小的非负逆元即为 (m+x%m)%m

• 除法取模
  假设b的逆元是k，有:
  $$(\frac{a}{b})modm=(ak)modm$$

例题：

点击–>>题目链接

思路：需要知道前n项的平方和，$S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,然后求6的逆元，最后龟速乘直接算出答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007;
ll x,y;
//龟速乘
ll mul(ll a,ll b)
{
    ll res = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1) res = (res+a)%mod;
        b >>= 1;
        a = a*2%mod;
    }
    return res;
}
//求逆元
ll exgcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll g = exgcd(b,a%b);
    ll temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a/b)*y;
    return g;
}
int main()
{
    exgcd(6,mod);
    x = (x%mod+mod)%mod;//6最小的非负整数逆元
    ll n;
    while(cin>>n)
       cout<<mul(mul(mul(n,n+1),2*n+1),x)<<'\\n';
    return 0;
}