集合划分问题

Posted 2021-07-17 征途黯然.

问题描述

n个元素的集合{1,2,.,n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下：

四个子集：{1}，{2}，{3}，{4}}，

。
三个子集：{{1，2}，{3}，{4}}，{{1，3}，{2}，{4}}， {{1，4}，{2}，{3}}，{{2，3}，{1}，{4}}， {{2，4}，{1}，{3}}，{{3，4}，{1}，{2}}，
。
两个子集： {{1，2}，{3，4}}，{{1，3}，{2，4}}， {{1，4}，{2，3}}，{{1，2，3}，{4}}， {{1，2，4}，{3}}，{{1，3，4}，{2}}， {{2，3，4}，{1}}，
。
一个子集：{{1，2，3，4}}

算法设计：

给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个非空子集组成的集合。

数据输入：

由文件input.txt 提供输入数据。文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。

问题分析

回顾问题：给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个非空子集组成的集合。假定多少个用F(m,n)来计算

若m=1，则F(m,n)=1 --> 所有元素放在一个大集合中
若m=n，则F(n,m)=1 --> 所有元素都是单元素集合，然后将单元素集合放在一个大集合中
最后剩下F(n,m)，可以分为以下两个情况：
a. 向n-1个元素中划分的m个非空字节构成的集合中添加一个新的元素，则有mF(n-1,m)种情况
b. 向n-1个元素中划分的m-1的集合中添加一个元素的独立集合，则总非空集合有m-1+1=m个，则有1F(n-1,m-1)种情况

综合上面的情况，我们可以得出一个递归的式：

代码实现

#include "stdafx.h"
#include "stdio.h"
#include "iostream.h"
#include<fstream>//用于文件输入输出
using namespace std;
 
int setpart(int n,int m)//递归实现
{
    if(m==1 || m==n) return 1;
    return setpart(n-1,m-1)+m*setpart(n-1,m);
}
 
int main(int argc, char* argv[])
{
    ifstream infile("input.txt",ios::in);
    int m,n;
    infile>>n;
    infile>>m;
    cout << "元素个数为" <<n<<'\\t'<<"组成集合的非空集合数："<<m<< endl;
 
    int out;
    out=setpart(n,m);
 
    ofstream outfile;
    outfile.open("out.txt");
    cout << "Writing to the file" << endl;
    cout << out << endl;
    outfile<<out<< endl;
    return 0;
}