整数的划分

Posted 2021-07-17 征途黯然.

题目内容

一个正整数n可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk,k≥1。
我们将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。
现在给定一个正整数n，请你求出n共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

数据范围

1≤n≤1000

输入样例

5

输出样例

7

题解

根据题，可以思考为由体积为1到n，n个物品，然后有一个体积为n的背包，求一个恰好装满背包的方案数（每种物品可以用无限次）。

一、状态表示

1、集合

    所有从1到i中选，总体积恰好是j的选择方法

2、属性

    方案数（数量）

二、状态计算

根据背包问题，根据最后第i个物品选择的数量划分集合。

f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-i]

若当集合改为：所有总和是i，并且恰好表示成j个数的和的方案时，也能做，这里略过。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010,mod=1e9+7;

int n;
int f[N];

int main(){
    cin>>n;
    f[0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j = i;j<=n;j++){
            f[j] = (f[j]+f[j-i]) % mod;
        }
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}