博弈论笔记1:囚徒困境与纳什均衡

Posted 刘文巾

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了博弈论笔记1:囚徒困境与纳什均衡相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1 个体最优与社会最优

1.1 社会基本问题

社会:个体之间有互动行为&相互依赖的群体

羊群效应:大家做什么,我就跟着做什么,不管对错和原因

 

协调问题:两人迎面走来,谁左谁右?(核心:人们如何预测他人的行为)

合作问题:囚徒困境(核心:个体理性和集体理性的折衷)

等边际原理:如果每一种资源都存在着边际收益递减,那么最优的资源配置策略应该满足:最后一单位资源无论用在哪一种用途上,都会产生相同的收益。 【资源在每一种用途上的边际贡献相等】

1.2 个体理性行为

理性人:有一个明确的偏好+在给定约束条件下,这个人总是追求自我偏好最大化。

 

输赢的不对称:当人们面临风险决策时, 他们更在乎的是成功与失败,赢和输, 财富的变化,而不是最终的财富状态;(比如说,100元损失导致的效用的减少远远大于100收益导致的效用的增加)——>人们是损失规避型的(loss aversion);

1.3 社会最优

1.3.1 帕累托效率标准:

帕累托效率:一种社会状态,与该状态相比,不存在任何一种可选择的状态,使得至少一个人的状态更好,同时没有任意一个人的状态变差

帕累托改进:改变一种状态,使得没有任何一个人的处境变坏,但是至少有一个人的处境变好了

**从非帕累托最优点到帕累托最优点不一定是帕累托改进

1.3.2 卡尔多-希克斯标准

总量最大化

2 囚徒困境

2.1 占优策略

不管对方使用什么样的战略,只要参与人使用这一战略,都可以给自己带来最大的收益。

理性人做决策的时候,不需要假定对方是理性的。

占优战略均衡:由占优战略组成的战略组合。

2.2 囚徒困境

尽管合作能让双方更好,但双方仍然不会合作

怎么比较好地去记一个方框里面哪个是甲的收益哪个是乙的收益呢?我们画一条线,斜线上方的就是表格“上方”的乙的收益;斜线左边的就是表格“左边”的甲的收益。

两个假设:

       R>T>P>S

       T+T>R+S

只要满足这两个条件,一定是个人理性选择不满足集体理性选择。

在这两个假设下,集体理性肯定是选择(合作,合作),这样总体的利益最高。

但是个人理性观点下呢?

以甲为例,当乙合作的时候,我们看下图蓝框框住的部分。如果甲合作,那么甲收益为T;甲不合作,甲的收益为R,又R>T,所以乙合作的时候,甲会不合作;同理,乙不合作的时候,甲也不合作(P>S)。所以无论乙怎么选择,甲都不合作。

乙同理,不论甲怎么选择,乙的占优策略都是不合作

2.2.1 囚徒困境的解决方法

设立奖惩机制,适当地减少R,增大S

如果需要二者合作,那么T+aT≥R+aS,S+aR≥P+aP

3 智猪博弈

我们先考虑小猪:

如果大猪做,那么小猪不做;如果大猪不做,那么小猪也不做——>小猪的占优策略是不做

我们考虑大猪:

如果小猪做,那么大猪不做;如果小猪不做,那么大猪做——>大猪没有占优策略。

但如果大猪事先知道小猪是理性的,那么大猪就会知道小猪不做,所以对于大猪来说,只剩下一半的博弈矩阵,那么大猪选择做就可以了。

所以最后的均衡状态是(做,不做)

4 纳什均衡

纳什均衡:所有参与人的最优战略的组合,给定这一组合中其他参与人的选择,没有任何人有积极性改变自己的选择。

 

混合战略纳什均衡:均衡结果是参与人以某一概率随机选择行动。

纯战略纳什均衡:参与人确定的选择某一个特定的战略【退化混合战略纳什均衡】。

4.1 监督博弈

假如一开始是(偷懒,偷懒)

->如果老板偷懒,那么工人不偷懒

->如果工人不偷懒,那么老板不偷懒

->如果老板不偷懒,那么工人偷懒

->如果工人偷懒,那么老板偷懒

这样又循环回去了,也就是说,这里没有纯战略的纳什均衡。

 

假如老板认为员工偷懒的概率是P,不偷懒的概率是1-P。

从老板的角度,自己不偷懒的期望收益是-2*P+2*(1-P)=2-4P,偷懒的期望收益是1*P+-1*(1-P)=2P-1

从员工的角度,自己不希望老板猜到自己偷懒还是不偷懒:

2-4P=2P-1 ->  P=1/2

这时,员工1/2的概率偷懒,1/2的概率不偷懒

 

假如老板以Q的概率偷懒,1-Q的概率不偷懒

从员工的角度,自己偷懒的期望收益是-1*Q+3*(1-Q)=3-4Q

自己不偷懒的期望收益是2*Q+2&(1-Q)=2

还是两者应该相等

所以Q=1/4

也就是老板以1/4的概率偷懒,3/4的概率不偷懒

 

所以,这个博弈的纳什均衡是,员工1/2的概率偷懒,1/2的概率不偷懒;老板1/4的概率偷懒,3/4的概率不偷懒。

4.2 纳什均衡的存在性

每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡(纯战略或混合战略);

• 如果一个博弈存在两个纯战略纳什均衡,那么,一定存在第三个混合战略纳什均衡。如果有偶数个纯纳什均衡,那么必然至少存在一个混合纳什均衡)

 

以上是关于博弈论笔记1:囚徒困境与纳什均衡的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

读书笔记: 博弈论导论 - 17 - 不完整信息的动态博弈 建立信誉

博弈论小课堂:非零和博弈(实现双赢)纳什均衡点

博弈论笔记:不完全信息与声誉

《纳什均衡与博弈论》纳什博弈论及对自然法则的研究

《纳什均衡与博弈论》纳什博弈论及对自然法则的研究

博弈论——囚犯困境