杨辉三角案例的C/C++与Python实现

Posted 2021-07-14 nanke_yh

目录

一、杨辉三角

1.1 简介

1.2 特性

二、案例实现

2.1 C/C++算法实现

2.2 python实现

三、重点分析

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一、杨辉三角

    这里简单介绍一下，具体的在百度百科上都能找到。

1.1 简介

    杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

1.2 特性

前提：每行端点与结尾的数为1.

1. 每个数等于它上方两数之和。

2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3. 第n行的数字有n项。

4. 前n行共[(1+n)n]/2 个数。

5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

8. (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10. 将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1×10^1=11，11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。

11. 第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。

12. 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。

13. 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。

二、案例实现

2.1 C/C++算法实现

在这里使用的是堆栈空间存储方法实现，最后结果打印出想要的前n行所有的数据。其实网上也有很多实现方法，有的内存、时间消耗可能比我的更小。在这里我只是个引子，附上代码:

#include <string>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define n 20

void fun(int **arr,int num)
{
	int i = 0,j = 0;

	if (arr == NULL)
	{
		return ;
	}
	arr[0][0] = 1;
	arr[1][0] = 1;
	arr[1][1] = 1;
	for(i = 2;i < num;i++)		
	{
		arr[i][0] = 1;
		for (j = 1;j < i;j++)
		{
			arr[i][j] = arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j];
		}
		arr[i][i] = 1;
		
	}

	return ;
}

int main()
{
	int i,j = 0;
	int **array = new int *[n];
	
	for (j = 0;j < n;j++)
	{
		array[j] = new int[j+1];
		
		memset(array[j],0,sizeof(int)*(j+1));
	}
	fun(array,n);
	
	for(i = 0;i < n;i++)		
	{
		for (j = 0;j < (n-i);j++)
		{
			printf(" ");
		}
		for (j = 0;j < i+1;j++)
		{
			printf("%d ",array[i][j]);
		}
		printf("\\n");
	}
		

	for(i = 0;i < n;i++)
	{
		if (array[i] != NULL)
		{
			delete []array[i];
			array[i] = NULL;
		}
	}
	delete []array;
	array = NULL;
	system("pause");
	return 0;
}

执行结果：

前20行的杨辉三角数据

2.2 python实现

def yh_tri(mylist1,mylist2,n):
    l = len(mylist1)
    if n < 2:
        return
    if l < 2:
        return
    if l >= n:
        print("the list len >= %d ",n)
        return
    for i in range(l,n):
        mylist2.append(1)
        for j in range(i-1):
            a = mylist1[i-1][j]
            b = mylist1[i-1][j+1]
            c = a + b
            mylist2.append(c)
        mylist2.append(1)   
        mylist1.insert(len(mylist1),mylist2[:])
        mylist2.clear()

函数调用：

mylist1 = [[1],[1,1]]
mylist2 = []
n = 10 #可根据需求改变
yh_tri(mylist1,mylist2,n)
for i in range(n):
    print(" "*(2*n-2*i-2),mylist1[i])

最后执行结果：

In [1]:runfile('D:/my_workspace/Python/yh_tri.py', wdir='D:/my_workspace/Python')
                   [1]
                 [1, 1]
               [1, 2, 1]
             [1, 3, 3, 1]
           [1, 4, 6, 4, 1]
         [1, 5, 10, 10, 5, 1]
       [1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]
     [1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1]
   [1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1]
 [1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]

三、重点分析

1、杨辉三角特性分析，需要明确其中的规律：即下一层的数首尾均为1，且其他数是由上层左右肩部数据之和得到的。对应特性3，特性7。

2、在c/c++实现中，需要二维内存循环开辟，并注意结束后的内存释放。

3、python实现过程中，嵌套列表中元素循环添加问题，注意列表之间赋值后，不要随着列表更改而改变大列表的元素（后续会详细分析讲到）。