同余定理+前缀和+状态压缩 == 解决连续子数组问题

Posted 2021-07-12 C_YCBX Py_YYDS

文章目录

• 题目一
• • 解题分析
  • dfs爆搜(超时)
  • 数组前缀和
  • 最终的状态压缩(压缩用于存储前缀和的数组)版本
• 题目二(蓝桥杯例题)
• • 解题代码

题目一

解题分析

• 同余定理：如果两个整数m、n满足n-m能被k整除，那么n和m对k同余

• 即 ( pre(j) - pre (i) ) % k == 0 则 pre(j) % k == pre(i) % k

• 推导 => pre (i) % k = (a0 + a1 + ... + ai) % k = (a0 % k + a1 % k + ... ai % k ) % k（该推导在简化前缀和的时候有用，说明当前前缀和 % k 不会影响后面的前缀和 % k ）

• 哈希表 存储 Key ：pre(i) % k
  Value： i

遍历过程：

1. 计算前缀和 pre( j ) % k

2. 当pre(j) % k在哈希表中已存在，则说明此时存在 i 满足 pre(j) % k == pre(i) % k ( i < j )

3. HashMap里，已知Key，可以取到Value 即i的值， 最后 判断j - i >= 2是否成立 即可

4. 当 pre(j) % k 不存在于哈希表，则将 (pre(j) % k, j ) 存入哈希表

5. (状态压缩)因在计算pre(i) = (pre(i-1) + nums[i]) % k时，pre(i)只与上一个状态有关，故可以直接用变量pre 替代数组。 那么 求前缀和 % k 的公式就简化为 题解代码中的 remainder = (remainder + nums[i]) % k;

dfs爆搜(超时)

虽超时了，但是就差一个测试用例就过了
时间复杂度O(n^2)

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        t = k;
        //遍历所有子数组
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            s = i;
            dfs(nums,i,0);
            if(res)
                return true;
        }
        return false;
    }
private:
    bool res = false;
    int t ;
    int s;
    void dfs(vector<int>&nums,int k,int target){
        if(k-s>1&&target%t==0){
            res = true;
            return;
        }if(k==nums.size())
            return;
        dfs(nums,k+1,target+nums[k]);
    }
};

数组前缀和

时间复杂度O(n)空间复杂度O(n)

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //用于存储前缀和
        vector<int>pre(nums.size()+1);
        unordered_map<int,int>hash;
        //把取余为0的包括在内
        hash[0] = 0;
        for(int i=1;i<=nums.size();i++){
            pre[i] = pre[i-1]+nums[i-1];
            //如果当前的前缀和取余之前出现过，则进行判断，否则入hash
           if(hash.count(pre[i]%k)){
               if(i-hash[pre[i]%k]>=2)
                    return true;
           }
           else{
               hash[pre[i]%k] = i;
           }
        }
        return false;
    }
};

最终的状态压缩(压缩用于存储前缀和的数组)版本

也就空间复杂度上少了4m。。。实际两个复杂度都是一样的。

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //用于存储前缀和
        unordered_map<int,int>hash;
        //把取余为0的包括在内
        hash[0] = 0;
        int pre = 0;
        for(int i=1;i<=nums.size();i++){
            pre = pre+nums[i-1];
            //如果当前的前缀和取余之前出现过，则进行判断，否则入hash
           if(hash.count(pre%k)){
               if(i-hash[pre%k]>=2)
                    return true;
           }
           else{
               hash[pre%k] = i;
           }
        }
        return false;
    }
};

题目二(蓝桥杯例题)

唯一的不同在于：需要求解存在这样的区间和的次数，我们只需要在上一题的基础上把hash表中存储的值进行改变即可，此题明显需要记录某个同余的出现次数，一旦再次出现同余，则就会产生同余次数个区间个数(由于这题认可区间长度为1)。
大坑：注意前缀和用int型会爆，还有结果用int也会爆，所以都用long long型即可。

解题代码

由于蓝桥杯练习系统中不支持C++11所以用unordered_map需要调用tr1库命名空间也需要tr1.

#include<bits/stdc++.h>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
using namespace std::tr1;
long long SubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //用于存储前缀和
        unordered_map<int,int>hash;
        //把取余为0的包括在内
        hash[0] = 1;
        long long pre = 0;
        long long res = 0;
        for(int i=1;i<=nums.size();i++){
            pre = pre+nums[i-1];
            //如果当前的前缀和取余之前出现过，则更新答案，有多少个同余的对象就有多少个答案
           if(hash.count(pre%k)){
               res += hash[pre%k];
           }
           
               hash[pre%k]++;
           
        }
        return res;
}
int main(){
int n,k;
cin>>n>>k;
vector<int>nums(n);
for(int i=0;i<n;i++)cin>>nums[i];
long long res = SubarraySum(nums,k);
cout<<res;
return 0;
}