算法211动态规划的引入 ——最大子矩阵（来自北京大学POJ）

Posted 2021-07-11 青少年信息学交流

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最大子矩阵

1. 问题描述

【题目描述】 

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 × 1)子矩阵。

比如，如下4 × 4的矩阵

0  -2 -7  0
9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2

的最大子矩阵是

 9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

【输入】              

输入是一个N*N的矩阵。输入的第一行给出N(0<N<=100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N^2个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[-127,127]。

【输出】              

输出最大子矩阵的大小。

【输入样例1】

4
0 -2 -7  0
9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2

【输出样例1】

15

说明/提示

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2. 问题分析

   简单的动态规划 。

3. 算法描述       

    

    假如是一个一维数组，找最大连续子数组和怎么办呢？

我们可以f[i] 为到a[i]时的最大和，显然，f[i]与f[i-1]有关，若f[i-1]+a[i] > a[i] ,f[i]=f[i-1]+a[i] ,否则，f[i]=a[i]。不难得出动归方程：

f[i]=max( f[i-1]+a[i] , a[i] )

    

    对于本题，我们可以把二维矩阵压缩为一维数组，把每种子矩阵的情况下和的最大值找出，最后输出即可！

 

4. 代码实现

#include <cstdio> 
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstring>
using namespace std;
int a[110],f[110][110];
int n,maxx=-2147483647;
int pd()
{
	int sum=0,maxn=-2147483647;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum=sum+a[i]>a[i]? sum+a[i]:a[i]; //取sum+a[i] 与 a[i]的最大值 
		maxn=max(maxn,sum);// 在最大值中找最大值 
	}
	return maxn;
}
int main()
{	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			cin>>f[i][j];//输入矩阵 
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) // 从每一行开始遍历 
	{
		memset(a,0,sizeof(a));//清零 
		for(int j=i;j<=n;j++) // 从第i行开始遍历 
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)//每列 
			{
				a[k]+=f[j][k];//压缩为一维数组 
			}
			maxx=max(maxx,pd());//在所有子矩阵中找最大和 
		}
	}
	cout<<maxx<<endl;// 输出 
	return 0; 
}

5. 测试结果

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