蓝桥国赛--本质上升序列（dp）

Posted 2021-07-07 _Rikka_

【问题描述】
小蓝特别喜欢单调递增的事物。
在一个字符串中，如果取出若干个字符，将这些字符按照在字符串中的顺序排列后是单调递增的，则成为这个字符串中的一个单调递增子序列。
例如，在字符串 lanqiao 中，如果取出字符 n 和 q，则 nq 组成一个单调递增子序列。类似的单调递增子序列还有 lnq、i、ano 等等。
小蓝发现，有些子序列虽然位置不同，但是字符序列是一样的，例如取第二个字符和最后一个字符可以取到 ao，取最后两个字符也可以取到 ao。小蓝认为他们并没有本质不同。
对于一个字符串，小蓝想知道，本质不同的递增子序列有多少个？
例如，对于字符串 lanqiao，本质不同的递增子序列有 21 个。它们分别是 l、a、n、q、i、o、ln、an、lq、aq、nq、ai、lo、ao、no、io、lnq、anq、lno、ano、aio。
请问对于以下字符串（共 200 个小写英文字母，分四行显示）：

tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhf
iadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqij
gihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmad
vrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl

本质不同的递增子序列有多少个？

思路

最长上升序列的一个变式，想一下最长上升序列的状态dp[i]表示的是以第i号结尾的最长上升序列长度。
再看本题，也要求是上升序列，需要字母之间的一个比较。
令dp[i]表示以第i个字母结尾和前面的字母组合，能拼凑出的本质不同上升序列的数量。

状态转移方程：dp[i]+=dp [j] (i号字母>j号字母,且从i往前扫描遍历，j号字母是第一次出现)
这么做的原因是，dp[i]代表的是一个总共拼凑的数量，如果对于每个前面的比自己小的字母都加上dp[j]会造成一个重复，那对于目前的第i个字母，从后往前遍历，只要第一次出现字母的那个dp[j]，因为从后往前遍历，后面的情况一定包含前面的。

Code

#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Max = 1e6 + 5;

int dp[Max];

int main()
{
	string str="tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhfiadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqijgihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmadvrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl";
	map<char, int> ma;
	for (int i = 0;i < str.size();i++)
	{
		ma.clear();
		dp[i] = 1;
		for (int j = i - 1;j >= 0;j--)
		{
			if (ma[str[j]] == 0&&str[i]>str[j])
			{
				dp[i] += dp[j];
				ma[str[j]]++;
			}
		}
	}
	ma.clear();
	ll sum = 0;
	for (int i = str.size() - 1;i >= 0;i--)
	{
		if (ma[str[i]] == 0)
		{
			sum += dp[i];
			ma[str[i]]++;
		}
	}
	cout << sum;
}

答案：3616159