2020CSP-J普及组复赛 D.方格取数（number）(简单dp)

Posted 2021-07-06 issue是fw

LINK

---

容易想到定义$f[i][j]$表示前$i$列处于位置$j$的花费

定义$W(i,j,q)$表示第$i$列第$min(j,q)$行到第$max(j,q)$行的权值

那么枚举状态$O(nm)$,转移枚举一个$q$得到

f [ i ] [ j ] = m a x { f [ i − 1 ] [ q ] + W ( i , j , q ) } \\rm f[i][j]=max\\{f[i-1][q]+W(i,j,q)\\} f[i][j]=max{f[i−1][q]+W(i,j,q)}

复杂度$O(n^3)$

考虑$f[i][j]$由$f[i-1][q]$转移当$q<=j$时

维护一个$mx$值表示当$q\in [1,j-1]$时最优的$f[i-1][q]+W(i,q,j-1)$

那么现在走到第$j$行还需要往下走一格,也就是更新一个$max$即可

$$\mathrm{m}\mathrm{x}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{f}[\mathrm{i}-1][\mathrm{j}],\mathrm{m}\mathrm{x})+\mathrm{a}[\mathrm{j}][\mathrm{i}]$$

为了考虑$q>j$的情况,倒序再做一遍

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1009;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,a[maxn][maxn],pre[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
inline int max(int a,int b){ return a>b?a:b; }
inline void r(int& a) 
{
    char c = getchar(); bool f = 1;
    for(;c<'0' || c>'9';c = getchar()) if (c=='-') f = 0;
    for(;c>='0' && c<='9';a = (a+(a<<2)<<1)+(c&15),c = getchar());
    if(!f) a = ~(a-1);
}
signed main()
{
	r( n ); r( m );
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		r( a[i][j] );
		pre[i][j] = pre[i-1][j]+a[i][j];
	}
	for(int j=1;j<=n;j++)	f[1][j] = pre[j][1];
/*
f[i][j]由f[i-1][q]转移而来
当q<=j时,随着j的增大,所有f[i-1][0..j]只是增大了一个a[i-1][q]而已 
*/ 
	for(int i=2;i<=m;i++)//前m列 
	{
		int mx = -inf;
		for(int j=1;j<=n;j++)//当前在位置j 
		{
			mx = max( mx+a[j][i],f[i-1][j]+a[j][i] );
			f[i][j] = mx;
		}
		mx = -inf;
		for(int j=n;j>=1;j--)//当前在位置j 
		{
			mx = max( mx+a[j][i],f[i-1][j]+a[j][i] );
			f[i][j] = max( f[i][j],mx );
		}
	}
	cout << f[m][n];
	return 0;
}