牛客练习赛70 F.曲调(离线,思维,权值线段树)

Posted 2021-07-06 issue是fw

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不看题解完全想不到,写下思路缕一缕 (顺便福利以下大众)

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对数组$a$做前缀和,那么每次只需要找到$[l,r]$内差值最小的两个数即可

但是这个也显然做不了,考虑对询问区间排序后按照$r$端点离线

顺序扫描每个$i$,考虑$a_i$和前面数字$a_q$形成的贡献

显然可以选择找$a_i$最接近的$a_q$,然而此时$q$可能很小,很多区间更新不到

所以为了不遗漏任何答案,我们先找到最大的$k$满足$k<i\&\&a_k<=a_i$

显然,右端点大于等于$i$且左端点在$k$左边的区间都可以更新答案

然后我们再从$k$往左边扫描,也就是找到一个最大的$k_1<k\&\&a_i>=a_{k_1}>a_k$

因为这样虽然能更新的区间不如上一个多,但是更新的值却变为更优的$abs(a_{k_1}-a_i)$

然后一直重复这个步骤去更新区间即可

看上去完全没有优化,因为每次扫描的复杂度为$O(n)$

然而我们发现,第一次我们找到的是索引最大的$k$满足$a_k<a_i$

第二次找到的是最大索引的$k_1$满足$a_k<a_{k_1}<a_i$

这个$k_1$的贡献是$abs(a_i-a_{k_1})$,而$a_k,a_{k_1}$的贡献是$abs(a_{k_1}-a_k)$

显然后者更优,而且能覆盖的区间范围也更广,所以我们的$k_1$不是乱选的,至少需要满足

$\frac{a_i+a_k}{2}+1<=a_{k_1}<=a_i$

于是发现$a_{k_1}$的值域减小的非常快,似乎是$log$次的

所以现在的任务就是从$a[1...i-1]$找$a_q\in [\frac{a_i+a_k}{2},a_i]$的最大索引$q$

这个上个动态开点权值线段树即可,区间维护最大索引,动态插入$a_i$即可

接下来就是更新左端点小于等于$k$的所有区间,这只需要一个区间$min$,同样上线段树

然后就在$O(nlog(n)log(w))$的复杂度做完了,$w$是前缀和值域

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细节

Ⅰ.由于是做前缀和,需要把区间的左端点减一

Ⅱ.权值线段树下标不能是负数,为了不离散化,直接对每个前缀和加上$10^{15}$

Ⅲ.缩小值域的时候,注意取整问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
const int inf = 2e15;
const int maxn = 3e5+10;
const int N = 2e6+10;
int n,m,ans[maxn],b[maxn];
struct p
{
	int l,r,id;
	bool operator < ( const p&tmp )	const { return r<tmp.r; }
}a[maxn];

int mx[N],LS[N],RS[N],id,root;
void insert(int &rt,int l,int r,int pos,int val)//单点更新 
{
	if( !rt )	rt = ++id;
	mx[rt] = max( mx[rt],val );//因为val是单调递增的 
	if( l==r )	return;
	if( pos<=mid )	insert( LS[rt],l,mid,pos,val ); 
	else	insert( RS[rt],mid+1,r,pos,val );
}
int ask(int rt,int l,int r,int L,int R)//查询[L,R]内序号最大的
{
	if( !rt || l>R || r<L )	return -1;
	if( l>=L && r<=R )	return mx[rt];
	return max( ask(LS[rt],l,mid,L,R),ask(RS以上是关于牛客练习赛70 F.曲调(离线,思维,权值线段树)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 GYM 101350 F. Monkeying Around(线段树 or 思维）
 Codeforces1539 F. Strange Array（思维，线段树）
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