P3708 koishi的数学题(因数和)

Posted 2021-07-06 Harris-H

P3708 koishi的数学题(因数和)

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值得学习的点

• 因子和$\sigma (n)=\sum _{d|n}d$
• $x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y)=x-\lfloor \frac{x}{y}\rfloor \times y$

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)$，求$f(1),f(2)\dots ,f(n)$

考虑递推的关系

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)=nx-\sum _{i=1}^n(\lfloor \frac{x}{i}\rfloor \times i)$

$f(x)-f(x-1)=n-\sum _{i=1}^{n}i(\lfloor \frac{x}{i}\rfloor -\lfloor \frac{x-1}{i}\rfloor )$

当$i|x$时，$(\lfloor \frac{x}{i}\rfloor -\lfloor \frac{x-1}{i}\rfloor )=1$

否则等0。

所以$\sum _{i=1}^{n}i(\lfloor \frac{x}{i}\rfloor -\lfloor \frac{x-1}{i}\rfloor )=\sum _{d|x}^{x}d=\sigma (x)$

$f(x)-f(x-1)=n-\sigma (x)$

预处理$\sigma (i)$，然后$O(n)$递推。

预处理$\sigma (i)$的两种方法：

• 每个因数的对哪些数有贡献 $O(nlogn)$
• 线性筛 $O(n)$

//暴力筛O(nlogn)
ll f[N],s;
int n;
void init(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++)	
		for(int j=i;j<=n;j+=i) f[j]+=i;
}
//线筛O(n)
ll f[N],s,g[N];
int p[N],cnt,vis[N];
int n;
void init(int n){
	vis[0]=vis[1]=1;
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) p[++cnt]=i,f[i]=g[i]=i+1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				g[i*p[j]]=g[i]*p[j]+1;
				f[i*p[j]]=f[i]/g[i]*g[i*p[j]];
				break;
			}
			f[i*p[j]]=f[i]*f[p[j]];
			g[i*p[j]]=g[p[j]];
		}
	}
}

因数和线筛的证明

自己来证明下$O(n)$的线筛：

前置知识：

• 欧拉筛
• 约数定理：$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_m^{k_m}=(1+p_1+p_1^2+p_1^3\cdots +p_1^{k_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{k_2}$