线性筛约数个数和(证明)

Posted 2021-07-06 Harris-H

线性筛约数个数和(证明)

之前已经证明过了线性筛约数和，现在证这个就灰常简单了。

传送门

非常类似，也是用一个数组来维护$d(i)$。

由算术基本定理：

$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_m^{k_m}$

$d(n)=(k_1+1)(k_2+1)\dots (k_m+1)$

这里$g(n)=k_1+1$，即$n$的最小素因子个数$+1$。

时间复杂度：$O(n)$

ll f[N],g[N];
int cnt,vis[N],p[N];
void init(int n){
    vis[0]=vis[1]=1,f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i,f[i]=g[i]=2;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                g[i*p[j]]=g[i]+1;
                f[i*p[j]]=f[i]/g[i]*g[i*p[j]];
                break;
            }
            g[i*p[j]]=2;
            f[i*p[j]]=f[i]*f[p[j]];
        }
    }
}

线筛适用于范围较小，但询问较多的题。