位运算(异或运算) :数组中数字出现的次数

Posted 2021-07-04 炫云云

文章目录

• • • • 数组中数字出现的次数
      • 判定字符是否唯一
  • 参考

数组中数字出现的次数

一个整型数组 nums 里除两个数字之外，其他数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

示例 1：

输入：nums = [4,1,4,6]
输出：[1,6] 或 [6,1]

示例 2：

输入：nums = [1,2,10,4,1,4,3,3]
输出：[2,10] 或 [10,2]

位运算(异或运算)

设整型数组 nums 中出现一次的数字为 x ，出现两次的数字为 a, a, b, b, … ，即：

$$nums=[a,a,b,b,...,x]$$
异或运算有个重要的性质，两个相同数字异或为 0 ，任何数字与0异或结果是其本身。即对于任意整数 a 有 $a\oplus a=0$ 。因此，若将 nums 中所有数字执行异或运算，留下的结果则为 出现一次的数字 $x$ ，即：
$$\begin{array}{rl}& a\oplus a\oplus b\oplus b\oplus ...\oplus x\\ =& 0\oplus 0\oplus ...\oplus x\\ =& x\end{array}$$

异或运算满足交换律 $a\oplus b=b\oplus a$ ，即以上运算结果与 nums 的元素顺序无关。代码如下：

def singleNumber( nums):
    z = 0
    for num in nums:  # 1. 遍历 nums 执行异或运算
        z ^= num
        print(z)      
    return z;         # 2. 返回出现一次的数字 x

nums = [3,3,4,4,1]
end = singleNumber( nums)

3
0
4
0
1

本题难点： 数组 nums 有 两个 只出现一次的数字，因此无法通过异或直接得到这两个数字。

设两个只出现一次的数字为 $x,y$ ，由于 $x\ne y$ ，则 $x$ 和 $y$ 二进制至少有一位不同（即分别为 0 和 1 ），根据此位可以将 nums 拆分为分别包含 x 和 y 的两个子数组。

易知两子数组都满足 「除一个数字之外，其他数字都出现了两次」。因此，仿照以上简化问题的思路，分别对 两子数组 遍历执行异或操作，即可得到两个只出现一次的数字 $x,y$ 。

算法流程：

1. 遍历 nums执行异或：

设整型数组 $nums=[a,a,b,b,...,x,y]$ ，初始化n=0，任何数字与0异或结果是其本身。 对 nums 中所有数字执行异或，得到的结果为 $x\oplus y$ ，即：
$$\begin{array}{rl}n=& n\oplus a\oplus a\oplus b\oplus b\oplus ...\oplus x\oplus y\\ =& 0\oplus 0\oplus ...\oplus x\oplus y\\ =& x\oplus y\end{array}$$

2. 循环左移计算 m ：

根据异或运算定义，若整数 $x\oplus y$ 某二进制位为 1 ，则 $x$ 和 $y$ 的此二进制位一定不同。换言之，找到 $x\oplus y$ 某为 1 的二进制位，即可将数组 nums 拆分为上述的两个子数组。根据与运算特点，可知对于任意整数 a 有：

若 $a\&0001=1$ ，则 $a$ 的第一位为 1 ；

若 $a\&0010=1$ ，则 $a$ 的第二位为 1 ；

以此类推……

因此，初始化一个辅助变量 $m=1$ ，通过与运算从右向左循环判断，可 获取整数 $x\oplus y$ 首位 是 1的位置 ，记录于 $m$ 中，

举个例子：n = 10 ^ 2 = 1010 ^ 0010 = 1000,第四位为1.如果（n & m）的结果等于0说明n的最低为是0

代码如下：

while n & m == 0: # m 循环左移一位，直到 n & m ！= 0   
    m <<= 1 

3. 拆分 nums 为两个子数组

4. 分别遍历两个子数组执行异或：

   通过遍历判断 nums中各数字和 m 做与运算的结果，可将数组拆分为两个子数组，并分别对两个子数组遍历求异或，则可得到两个只出现一次的数字，代码如下：

for num in nums:
    if num & m: x ^= num  # 若 num & m != 0 , 划分至子数组 1 ，执行遍历异或
    else: y ^= num        # 若 num & m == 0 , 划分至子数组 2 ，执行遍历异或
return x, y               # 遍历异或完毕，返回只出现一次的数字 x 和 y

5. 返回值：

返回只出现一次的数字 x, y 即可。

设 nums = [3, 3, 4, 4, 1, 6]，以上计算流程如下图所示。

class Solution:
    def singleNumbers(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        x, y, n, m = 0, 0, 0, 1
        for num in nums:         # 1. 遍历异或
            n ^= num 
        while n & m == 0:        # 2. 循环左移，计算 m
            m <<= 1       
        for num in nums:         # 3. 遍历 nums 分组
            if num & m: x ^= num # 4. 当 num & m != 0
            else: y ^= num       # 4. 当 num & m == 0
        return x, y              # 5. 返回出现一次的数字

复杂度分析：

时间复杂度 O(N) ： 线性遍历 nums 使用 O(N) 时间，遍历 $x\oplus y$ 二进制位使用 $O(32)=O(1)$时间。

空间复杂度 O(1)： 辅助变量 a , b , x , y 使用常数大小额外空间。

判定字符是否唯一

实现一个算法，确定一个字符串 s 的所有字符是否全都不同。

示例 1：

输入: s = "leetcode"
输出: false 

示例 2：

输入: s = "abc"
输出: true

如果你不使用额外的数据结构，会很加分。

位运算(异或运算)

这里就是设置一个值，mask。然后利用每个字符串的唯一性质(unicode)，就将1向左移动unicode的值。得到一个二进制的数值（如100000）如果与的答案为0，就说明没有出现过，将这个位置的1或给mask，不同的字符就代表着不同的位置，这个mask就会在不同的位置变为1。然后循环。

class Solution(object):
    def isUnique(self, astr):
        """
        :type astr: str
        :rtype: bool
        """
        mask = 0    #假设这个变量占26个bit ,那么我们可以把它看成000...00(26个0)，
                    #这26个bit对应着26个字符，对于一个字符c，检查对应下标的bit值即可判断是否重复。
        for i in astr:
            move = ord(i) - ord('a')  
            if mask & (1<<move) != 0:  #使用左移运算符1 << move 则可以得到对应下标为1，其余下标为0的数，如字符char = 'c'，则得到的数为000...00100
                                    # 将这个数跟mark做与运算，由于这个数只有一个位为1，其他位为0，那么与运算的结果中，其他位肯定是0，
                                    # 而对应的下标位是否0则取决于之前这个字符有没有出现过，若出现过则被标记为1，那么与运算的结果就不为0
                return False
            else:            
                mask |= (1<<move)    #若之前没有出现过，则对应位的与运算的结果也是0，那么整个结果也为0。
                                    #对于没有出现过的字符，我们用或运算mask |= (1<<move) 将对应下标位的值置为1。
        return True

class Solution(object):
    def isUnique(self, astr):
        """
        :type astr: str
        :rtype: bool
        """
        from collections import Counter
        dic=Counter(astr)
        return len(dic.values())==0 or max(dic.values())<2

参考

力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)]

《画解剑指 Offer 》

https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/solution/te-bie-hao-yong-de-er-fen-cha-fa-fa-mo-ban-python-/