✠OpenGL-3-数学基础

Posted 2021-07-03 itzyjr

目录

• • • • • • 3D坐标系统
          • 点
          • 矩阵(单位矩阵、转置矩阵、逆矩阵；矩阵加法和乘法)
          • 变换矩阵(平移、缩放、旋转、投影[透视/正射]、LookAt)
          • 旋转矩阵的数学推导
          • 向量及操作
          • 点积和叉积的应用
          • 局部和世界空间——模型矩阵M
          • 同一个点在不同坐标系下的坐标变换
          • 视觉空间和合成相机——模型-视图矩阵MV
          • 三维物体的显示过程
          • 我们如何变换来计算出P~W~在相机空间中的位置P~C~？
          • 为什么是[负]相机位置/旋转角?
          • 用来构建矩阵变换的GLSL函数
          • 补充说明

3D坐标系统

3D图形学中几乎每个方面、每种效果——移动、缩放、透视、纹理、光照、阴影等都在很大程度上以数学方式实现。
在OpenGL中的坐标系大体是右手坐标系。

点

3D空间中的点可以通过使用形如(2, 8, -3)的符号，列出X、Y、Z的值来表示。不过，如果用齐次坐标来表示点会更有用。在每个点的齐次坐标有4个值。即(X, Y, Z, W)，其中W总是非零值，通常为1。因此我们会将之前的点表示为(2, 8, -3, 1)。齐次坐标将会使我们的图形学计算更高效。

用来存储齐次3D坐标的GLSL数据类型是vec4。GLM库包含适合在C++/OpenGL应用中创建和存储3元和4元(齐次)点的类，分别叫作vec3和vec4。

矩阵(单位矩阵、转置矩阵、逆矩阵；矩阵加法和乘法)

$$\left[\begin{array}{cccc}{A}_{00}& A_{01}& A_{02}& A_{03}\\ A_{10}& A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{20}& A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{30}& A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]$$
GLSL语言中的mat4数据类型用来存储4×4矩阵。同样，GLM库中有mat4类用以实例化并存储4×4矩阵。

①单位矩阵：
一条对角线的值为1，其余值全为0。
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
任何值乘以单位矩阵都不会改变。
在GLM中，调用构造函数glm::mat4 m(1.0f)以在变量m中生成单位矩阵。

②转置矩阵：
矩阵转置的计算是通过交换矩阵的行与列完成的。例如：

GLSL库和GLM库都有转置函数，分别是transpose(mat4)和glm::transpose(mat4)。

➂逆矩阵
一个4×4矩阵的逆矩阵是另一个4×4矩阵，用M^-1表示。在矩阵乘法中有如下性质：
M×M^-1 = M^-1×M = 单位矩阵 E

若 AB = BA = E，则 A 是可逆的，B 是 A 的逆矩阵。

GLSL和GLM都提供了mat4.inverse()函数完成矩阵的逆矩阵运算。

➊矩阵加法：

在GLSL中，+运算符在mat4上进行了重载，以支持矩阵加法。

➋矩阵乘法：

矩阵相乘也经常叫作合并。
我们需要经常将相同的一系列矩阵变换应用到场景中的每个点上。通过预先一次计算好这些矩阵的合并，就可以成倍减少总的矩阵运算量。

GLSL 和 GLM 都支持使用重载后的*运算符进行矩阵乘法。

点与矩阵相乘，从右向左，得到点：

我们用齐次坐标将点(X, Y, Z)表示为列数为1的矩阵。
注意，矩阵乘法不满足【交换律】。（很容易证明交换律不成立）

矩阵乘法满足【结合律】：(很容易证明结合律成立)
Now Point = M₁×(M₂×(M₃×Point)) == (M₁×M₂×M₃)×Point

变换矩阵(平移、缩放、旋转、投影[透视/正射]、LookAt)

变换矩阵的重要特性之一就是它们都是 4× 4 矩阵。这是因为我们决定使用齐次坐标系。否则，各变换矩阵可能会有不同的维度并且无法相乘。正如我们所见，确保变换矩阵大小相同并不只是为了方便，同时让它们可以任意组合，进行预先计算变换矩阵以提升性能。

➊平移矩阵
平移矩阵用于将物体从一个位置移至另一位置。

下面展示了平移矩阵和它与齐次坐标点相乘的效果——平移矩阵变换：
$$\left(\begin{array}{l}X+T_x\\ Y+T_y\\ Z+T_z\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& T_x\\ 0& 1& 0& T_y\\ 0& 0& 1& T_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left(\begin{array}{l}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right)$$

注意，这个乘法是从右向左相乘。
()是代表向量vector，[]是代表矩阵matrix

平移矩阵变换的结果：
点(X, Y, Z)平移到了位置(X+T_x, Y+T_y, Z+T_z)

例如，将一组点向上沿Y轴正方向移动5个单位，可以通过给一个单位矩阵的T_y位置放入5来构建平移矩阵。之后只需将想要移动的点与矩阵相乘就可以了。

GLM中有一些函数是用于构建与点相乘的平移矩阵的。相关操作有：

• glm::translate(x, y, z) 构建平移(x, y, z)的矩阵；
• mat4 × vec4 // 4×4矩阵 × 4元素向量 => 新4元素向量

➋缩放矩阵
缩放矩阵用于改变物体的大小或者将点向原点相反方向移动。虽然缩放点这个操作乍一看有点奇怪，不过 OpenGL 中的物体都是用一组或多组的点定义的。因此，缩放物体涉及缩放它的点的集合。

下面展示了缩放矩阵的形式和当它与齐次坐标点相乘的效果——经过缩放值修改后的新点。
$$(\begin{array}{l}X\ast S_x\\ Y\ast S_y\\ Z\ast S_{✠OpenGL-2-图像管线}\end{array}$$

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