探寻宝藏 算法设计与分析课设 c语言代码 + 思路详解
Posted 林深时不见鹿
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了探寻宝藏 算法设计与分析课设 c语言代码 + 思路详解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
1、题目
传说HMH大沙漠中有一个M*N
迷宫,里面藏有许多宝物。某天,Dr.Kong找到了迷宫的地图,他发现迷宫内处处有宝物,最珍贵的宝物就藏在右下角,迷宫的进出口在左上角。当然,迷宫中的通路不是平坦的,到处都是陷阱。Dr.Kong决定让他的机器人卡多去探险。
但机器人卡多从左上角走到右下角时,只会向下走或者向右走。从右下角往回走到左上角时,只会向上走或者向左走,而且卡多不走回头路。(即:一个点最多经过一次)。当然卡多顺手也拿走沿路的每个宝物。
Dr.Kong希望他的机器人卡多尽量多地带出宝物。请你编写程序,帮助Dr.Kong计算一下,卡多最多能带出多少宝物。
输入
第一行: K 表示有多少组测试数据。
接下来对每组测试数据:
第1行: M N
第2~M+1行:Ai1 Ai2 ……AiN (i=1,…..,m)
【约束条件】
2≤k≤5 1≤M, N≤50 0≤Aij≤100 (i=1,….,M; j=1,…,N)
所有数据都是整数。 数据之间有一个空格。
输出
对于每组测试数据,输出一行:机器人卡多携带出最多价值的宝物数
样例输入
2
2 3
0 10 10
10 10 80
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 100
样例输出
120
134
2、思路1
假设出发点为A终点为B ,题目要求从A->B,然后再从B->A,求出这两条路径上取得的最大的和(路径不能重复)。我们可以假设同时从A出发,得到两条不同路径,这是相同的效果,相当于从A->B一共走了两次。
我们首先考虑只走一次。
只走一次:
状态表示: f[i,j]
表示所有从(1,1)
走到(i,j)
的路径之和的最大值
状态转移:
由于限制了只会向下走或者向右走,因此到达(i,j)
有两条路径
- 从上方转移过来,
f[i][j] = f[i][j-1]+ a[i][j]
- 从左方转移过来,
f[i][j] = f[i-1][i]+ a[i][j]
因此,状态计算方程为: f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + a[i][j]
, 从向右和向左两条路径中选择路径之和最大的转移过来,再加上a[i][j]
的值。
现在我们考虑走两次。
走两次:
状态表示: f[i1,j1,i2,j2]
表示所有从(1,1)
,(1,1)
分别走到(i1,j1)
,(i2,j2)
的路径之和的最大值。
状态计算:
从(1,1)
,(1,1)
分别走到(i1,j1)
,(i2,j2)
的前一步共有四条路径:
-
第一条:下 第二条:下
f[i1][j1][i2][j2] = f[i1-1]][j1][i2-1][j2] + a[i1][j1] + a[i2][j2]
-
第一条:下 第二条:右
f[i1][j1][i2][j2] = f[i1-1][j1][i2][j2-1] + a[i1][j1] + a[i2][j2]
-
第一条:右 第二条:下
f[i1][j1][i2][j2] = f[i1][j1-1][i2-1][j2] + a[i1][j1] + a[i2][j2]
-
第一条:右 第二条:右
f[i1][j1][i2][j2] = f[i1][j1-1][i2][j2-1] + a[i1][j1] + a[i2][j2]
因此,状态计算方程为: f[i1][j1][i2][j2] = max(f[i1][j1][i2][j2],f[i1-1][j1][i2][j2-1],f[i1][j1-1][i2-1][j2],f[i1][j1-1][i2][j2-1]) + a[i1][j1] + a[i2][j2]
。
注意点:
因为一个点只能走一次,包括终点也是如此。因此,我们考虑终点的前一步,最后再加上终点的值。而终点的前一步共有两种可能,如下:
故最后的答案取值为:max(f[n][m-1][n-1][m],f[n-1][m][n][m-1]) + a[n][m]
。
时间复杂度分析:4
重循环,因此时间复杂度为
O
(
n
∗
n
∗
m
∗
m
)
O(n*n*m*m)
O(n∗n∗m∗m) 。
空间复杂度分析: 定义状态为4
维,因此空间复杂度为
O
(
n
∗
n
∗
m
∗
m
)
O(n*n*m*m)
O(n∗n∗m∗m) 。
3、代码1
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N = 55;
int a[N][N];
int f[N][N][N][N];
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int k,n,m;
scanf("%d",&k);
while(k--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(f,0,sizeof(f));
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
for(int j1 = 1; j1 <= m; j1++)
for(int i2 = 1; i2 <= n; i2++)
for(int j2 = 1; j2 <= m; j2++)
{
if(i1 == i2 && j1 == j2) continue; //走到同一格子
int &x = f[i1][j1][i2][j2];
int t = a[i1][j1] + a[i2][j2];
x = max(x,f[i1-1][j1][i2-1][j2]+t);
x = max(x,f[i1-1][j1][i2][j2-1]+t);
x = max(x,f[i1][j1-1][i2-1][j2]+t);
x = max(x,f[i1][j1-1][i2][j2-1]+t);
}
printf("%d\\n",max(f[n][m-1][n-1][m],f[n-1][m][n][m-1]) + a[n][m]);
}
return 0;
}
4、思路2
第一种思路的时间复杂度为
O
(
n
∗
n
∗
m
∗
m
)
O(n*n*m*m)
O(n∗n∗m∗m) ,当n
和m
很大时,这样的效率显然我们是不能接受的。有没有一种方法可以降低时间复杂度那?答案时有的。
这道题的关键在于如何处理” 同一个格子只能走一次 “?
我们发现只有在i1 + j1 == i2 +j2
时,两条路径的格子才可能重合 。我们让 k = i1 + j1 == i2 +j2
,两个人同时从A出发,每个人走的步数和是一样的。
新的状态表示:f[k, i1, i2]
表示所有从(1,1)
,(1,1)
分别走到(i1,k-i1)
, (i2,k-i2)
的路径之和的最大值,k
表示两条路线当前走到的格子的横纵坐标之和(或者说两个人都走了k
步)。
k = i1 + j1 = i2+ j2
因此把状态由f[i1][j1][i2][j2]
优化成三维f[k][i1][i2]
等价于f[i1][k−i1][i2]k−i2]
状态计算:
从(1,1)
,(1,1)
分别走到(i1,j1)
,(i2,j2)
的前一步共有四条路径:
-
第一条:下 第二条:下
f[i1-1]][j1][i2-1][j2] == f[k-1][i1-1][i2-1]
; -
第一条:下 第二条:右
f[i1-1][j1][i2][j2-1] == f[k-1][i1-1][i2]
; -
第一条:右 第二条:下
f[i1][j1-1][i2-1][j2] == f[k-1][i1][i2-1]
; -
第一条:右 第二条:右
f[i1][j1-1][i2][j2-1] == f[k-1][i1][i2]
;
我们解释上面的一种状态:
f[i1-1]][j1][i2-1][j2] == f[k-1][i1-1][i2-1]
:代表两个人都走了k-1
步,A从(i1-1,j1)
走到(i1,j1)
,B从(i2-1,j2)
走到(i2,j2)
。
因此,状态计算方程为: f[k][i1][j1] = max(f[k-1][i1-1][i2-1],f[k-1][i1-1][i2],f[k-1][i1][i2-1],f[k-1][i1][i2]) + a[i1][j1] + a[i2][j2]
。
注意点: 同思路1一样
最终的答案为: max(f[n+m-1][n][n-1],f[n+m-1][n-1][n])+a[n][m]
时间复杂度分析:3
重循环,因此时间复杂度为
O
(
(
n
+
m
)
∗
n
∗
n
)
O((n+m)*n*n)
O((n+m)∗n∗n) 。
空间复杂度分析: 定义状态为3
维,因此空间复杂度为
O
(
(
n
+
m
)
∗
n
∗
n
)
O((n+m)*n*n)
O((n+m)∗n∗n) 。
完整分析图示:
5、代码2
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N = 55;
int a[N][N];
int f[2*N][N][N];
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int k,n,m;
scanf("%d",&k);
while(k--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(f,0,sizeof(f));
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int k = 2; k <= n+m; k++)
for(int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
for(int i2 = 1; i2 <= n; i2++)
{
int j1=k-i1,j2=k-i2;
if(i1 >= 1 && j1 <= n && i2 >=1 && j2 <=m)
{
if(i1 == i2) continue;
int &x=f[k][i1][i2];
int t = a[i1][j1] + a[i2][j2];
x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
}
}
printf("%d\\n",max(f[n+m-1][n][n-1],f[n+m-1][n-1][n])+a[n][m]);
}
return 0;
}
以上是关于探寻宝藏 算法设计与分析课设 c语言代码 + 思路详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
数据结构与算法大作业:走迷宫程序(C语言,DFS)(代码以及思路)