话谈——点分治

Posted 2021-06-30 ｡✧* ꧁王者꧂✧*

话不多说，因为也没有太多时间闲聊，就简单说一下吧。
点分治，既然是“分治”，那么其一定运用了分治思想。
分治思想：简单来说就是将一个复杂问题拆分成几个小问题再依次解决。
点分治，就是在分治思想的基础上，以点作为划分依据，来解决树上问题。
点分治多用来处理与树上路径有关的问题，其实现方法便是每一次找树的重心（一棵树上某一点的最大连通块最小的点即为此树的重心）。找到树的中心后，我们便将树上路径问题转化成了两个子问题：
1.经过重心的路径；
2.不经过重心的路径（即去掉重心后每一个连通区域内的路径）。
对于问题1，我们就依托重心，来记录并处理相关信息。
那么，对于问题2，我们可以再重复上述步骤，即找重心，处理路径信息。最后，递归到只剩下单个点时，便退出递归。
其时间复杂度是$O(nlogn)$，因为其总共递归的层数不会超过$logn$，而其每一层的递归基本上都会将$n$个点遍历，所以总复杂度为$O(nlogn)$。
点分树：又称动态点分治。其实就是讲点分治所划分的每个问题都存下来，方便后续的调用。因为其会多次找到之前存下来的子问题，所以称“动态”，但因为其存在了类似树的结构中，所以，又叫做点分树。
总结：高级的暴力。所以，同学们要勇于写暴力啊（滑稽~）。