概率与期望（小总结）

Posted 2021-06-30 ｡✧* ꧁王者꧂✧*

概率

$1.$某些定义

• 设集合空间为$\Omega$，$\Omega$即为此次事件所有基本事件的并集（总集）。
• 不可能事件：记为$\Phi$。
• 事件包含：若事件$A$发生一定导致事件$B$发生，即事件$B$的集合包含事件$A$的集合，记为$A\subset B$或$B\supset A$。
• 事件的和（并）：事件$A$和事件$B$至少有一个发生，这样的一个事件称为事件的和或并，记为$A\cup B$或$A+B$。
• 事件的积：事件$A$与$B$同时发生，这样的事件称为事件$A$与$B$的积或交，记为：$A\cap B$或$AB$。
• 事件的差：事件$A$发生而事件$B$不发生，即为事件$A$的集合减去$A\cap B$,称为$A-B$。
• 互斥事件：事件$A$与$B$不能同时发生，即$AB=\Phi$，称事件$A$与$B$互不相容或互斥。
• 对立事件（互逆）：若事件$A$与事件$B$有且仅有一个发生，且$A\cup B=\Omega$,$A\cap B=\Phi$,称事件$A$和事件$B$为对立事件或互逆事件，其中$B$事件称为$A$的逆事件，记作$B=\bar{A}$。
• 条件概率：事件$A$发生下的事件$B$发生的概率，也可理解为事件$A$的集合中与事件$B$重合的部分所占的比例，称为事件$A$发生的条件下事件$B$的条件概率，记为$p(B|A)$,$p(B|A)=p(AB)/p(A)$。
• 全概率公式：事件$A1,A2,A3...An$满足两两互斥，且${\sum }_{i=1}^n{A}_i=\Omega$，则称$A1,A2...An$为$\Omega$的一个集合划分（分割）。
  定理：对于某一事件$B$,$p(B)={\sum }_{i=1}^{n}p(A_i)\ast p(B|A_i)$。
  推论：$A_1,A_2...A_n$两两互斥，但其并集不一定等于全集，$\sum A\supset B$，则$p(B)={\sum }_{i=1}^{n}p(A_i)\ast p(B|A_i)$。
  $2.$概率的数学定义
  
  $3.$概率的性质及应用
  
  一些经典的概率问题:

$1.$三门问题（又称蒙提霍尔问题）：

• 参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。
  看似换一扇门好像不会增加参赛者赢得汽车的概率，但实际上，答案是肯定的。
  从直觉来看，你会感觉如此：只剩下两扇门，一扇是山羊，一扇是车，那么每一扇门的概率不就是$\frac{1}{2}$吗？你被直觉蒙蔽了吗？
  我们的直觉错误的原因就在于，我们没有考虑到“主持人打开一扇有山羊的门”是必然事件（而不是随机事件），而这必然事件是不会改变最初状态的结果的。
  我们可以用图示法来分析：
  第一次开门，我们选中车的概率为1/3,选到羊的概率为2/3。
  第二次，主持人选择羊的概率。
  我们可以清晰地看到，若第一次你选择了车，那么主持人开过门后，你换门必会抽到羊；而如果你第一次选择的是羊，你换门后必抽到车，那么你换门后抽到羊的概率为2/3.
  好神奇~

• Polya(波利亚罐子)
  因为我太蒟蒻了，所以不会严格地证明。但我在知乎上找到了一篇$SoBeautiful$的文章，完美解答我所有的问题：Polya罐子的证明
  
  前置知识：二项式定理；若你数学学得不是很好，那你可能看不懂这个证明（多啃啃就好了）。
  学了Polya模型，那你应该就会知道，为什么取球不放回的问题中，每次抽到黑球（或白球）的概率会相等了吧(将$c=-1$即可)。