写给小白看的硬核递归(低调点，当回小白)

Posted 2021-06-30 Big sai

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大家好，我是bigsai，今天给大家讲讲递归。内容很丰富，看完感觉不错还请三连支持幸苦码字！

什么是递归？

递归：就是函数自己调用自己。 子问题须与原始问题为同样的事，或者更为简单。
递归通常可以简单的处理子问题，但是不一定是最好的解决方式。

对于递归要分清以下概念：

• 递归是自己调用自己
• 递归通常不在意具体操作，只关心初始条件、结束条件和上下层的变化关系。
• 递归函数需要有临界停止点(结束条件)，即递归不能无限制的执行下去。通常这个点为必须经过的一个数。
• 递归可以被栈替代。有些递归可以优化。比如遇到重复性的可以借助空间内存记录而减少递归的次数

认识递归，递归函数通常看起来简易但是对于初学者可能很难去理解它，拿一个递归函数来说。

static void digui()
{
	System.out.println("bigsai前");
	digui();
	System.out.println("bigsai后");
}

这是一个递归嘛？不是正常递归，没有结束条件，自己一致调用自己导致无限循环。

那正确的递归应该这样

static void digui(int time)
{
	if(time==0) {}//time==0不执行
	else {
		System.out.println("bigsai前time: "+time);
		digui(time-1);
		System.out.println("bigsai后time: "+time);	
	}	
}

对于这样一种递归，它的流程大致是这样的

定义递归算法及参数
- 停止递归算法条件
- (可存在)其他逻辑
- 递归调用(参数需要改变)
- (可存在)其他逻辑

所以，调用digui(5)在控制台输出是这样的

那么，我想你对递归函数执行的流程应该有所了解了吧。

递归求阶乘

初学递归，接触最多的就是递归求阶乘，为啥阶乘可以用递归来求呢? 我们首先看下阶乘，n的阶乘表示为：

n!=n*(n-1)*……*1

n的阶乘就是从1开始叠乘到n，那么n-1的阶乘为：

(n-1)!=(n-1)*(n-2)*……*1

通过观察就能知道n的阶乘和n-1的阶乘有这样的关系：

n!=n!=n*(n-1)!

所以，我们要求n的阶乘，我们知道n-1的阶乘乘以n就可以得到，这就是最核心的关系。

0的阶乘为1，通过阶乘上下级的关系，我们假设一个函数jiecheng(n)为求n的阶乘的函数，那么这个函数为：

static int jiecheng(int n)
{
	if(n==0)//0的阶乘为1
	{
		return 1;
	}
	else {
		return n*jiecheng(n-1);//return n*(n-1)*jiecheng(n-2)=-------
	}
}

运行流程为这样：

递归求斐波那契

斐波那契数列，已经跟随我们成长很久很久了，除了直接的斐波那契，爬楼梯等问题也和斐波那契问题差不多。

首先，求斐波那契的公式为：

F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=3,F[1]=1,F[2]=1)

也就是除了n=1和2特殊以外，其他均是可以使用递推式，按照上述递归思想，我们假设求斐波那契设成F(n)；

那么递推实现的代码为：

static long F(int n)
{
	if(n==1||n==2) {return 1;}
	else {
		return F(n-1)+F(n-2);
	}
}

其实它的调用流程为：

不过这个斐波那契这样的求法效率并不高，后面会提一嘴。

递归解决汉诺塔

汉诺塔是经典递归问题：

相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如下图)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

1. 如果A只有一个（A->C）
2. 如果A有两个（A->B）,(A->C),(B->C)
3. 如果A有三个（A->C）,(A->B),(C->B),(A->C),(B->A),(B->C),(A->C).
4. 如果更多，那么将会爆炸式增长。
   

可以发现每增加一步，其中的步骤会多很多，如果一步步想，很难想明白，所以要用递归全局的想法看问题。

当有1个要从A->C时，这里使用函数**move(A,C)**表示(其他move操作同理)。

用**hannuo(n)**函数表示总共n个盘子要从A->C。

递归，其实就是要找上下层的关系，n个盘子从A挪到C和n-1个盘子从A挪到C有啥联系(hannuo(n)—>hannuo(n-1)有啥关系)。下面带你一步步分析。

假设有n个盘子

hannuo(n-1)之后n-1个盘子从A—>C.

此时剩下底下最大的，只能移动到B，move(A,B)

那么你是否发现什么眉目了，只需原先的huannuo(n-1)相同操作从C—>B即可完成转移到B，所以这个需要加参数表示其方向性，那么我们的之前函数应该写成hannuo(n-1,A,C),但是着这里肯定又用到B(向下需要用到)，所以把B传进来hannuo(n-1,A,B,C)先表示为从n-1个从A(借助B执行若干操作)转到C。

这一系列操作使得将n个盘子从A—>B但是我们要的是A—>C才是需要的hannuo(n,A,B,C)，这个很容易啊我们只需要第一步将n-1挪到B上就可以了啊。

经过上面分析，那么完整的操作为：

package 递归;
public class hannuota {
	static void move(char a,char b)
	{
		System.out.println("移动最上层的"+ a+ "到"+ b+ "\\t");
	}
	static void hannuota(int n,char a,char b,char c)//主要分析每一大步对于下一步需要走的。
	{
		if(n==1) {move(a,c);}//从a移到c
		else
		{
			hannuota(n-1,a,c,b);//将n-1个从a借助c移到b
			move(a,c); //将第n（最后一个）从a移到c。
			hannuota(n-1,b,a,c);//再将n-1个从b借助a移到c
		}
	}
	public static void main(String[] args)
	{
		
		hannuota(5,'a','b','c');
	}
}

这样，汉诺塔问题是不是搞懂了？

递归 VS 记忆化

很多时候，递归的效率是很低的(一个递归拆分成两个及以上子问题效率就不太行了)，我们要用动态规划或者记忆化去优化，为什么要记忆化？因为递归成子问题，子问题再拆分成子问题，造成很多的重复计算！

比如上面说到的递归求斐波那契数列，就是一个效率非常低的算法，比如你看看F(5)是这样走的：

在递归求F(4)时候，F(4)递归会求解F(3)，但是右侧的还会再执行一遍。如果是数量非常大的数，那么将耗费很大的时间。所以我们就可以采取记忆化！第一次算出结果的时候就存储一下，如果是线性有规律(大部分)就用数组，否则就用HashMap存储。

具体实现的代码为:

static long F(int n,long record[])
{
  if(n==1||n==2) {return 1;}
  if(record[n]>0)
    return record[n];
  else
    record[n]=F(n-1,record)+F(n-2,record);
  return record[n];
}
public static void main(String[] args) {
  int n=6;
  long[] record = new long[n+1];
  System.out.println(F(n,record));
}

这样可以节省很多时间，尤其是n非常大的情况(递归是指数级别增长，记忆化是线性级别)。例如一个F(6)求解过程：

当然，记忆化的问题远远不止这么多，具体还需要自行学习。

递归 VS 数据结构

递归在很多场景都有很好的应用，在链表中、二叉树、图中(搜索算法)都有很多的应用，这里就举一些非常经典的例子。

比如在链表中，很经典的就是链表逆序输出、链表反转问题，比如链表反转问题，对应力扣206(给你单链表的头节点 head ，请你反转链表，并返回反转后的链表)，可以这样巧妙的实现：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * public class ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode next;
 *     ListNode() {}
 *     ListNode(int val) { this.val = val; }
 *     ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }
 * }
 */
class Solution {
    public ListNode reverseList(ListNode head) {
        if(head==null||head.next==null)
            return  head;
        ListNode node =reverseList(head.next);//返回最后的链表节点
        head.next.next=head;//后一个节点指向自己
        head.next=null;//自己next指向null 
        return node;
    }
}

对于二叉树，最经典的就是二叉树的前序、中序、后序遍历的递归实现方式：

例如二叉树前序遍历：

public void qianxu(node t)// 前序递归 前序遍历：根结点 ---> 左子树 ---> 右子树
{
	if (t != null) {
		System.out.print(t.value + " ");// 当前节点
		qianxu(t.left);
		qianxu(t.right);
	}
}

二叉树中序遍历：

public void zhongxu(node t)// 中序遍历 中序遍历：左子树---> 根结点 ---> 右子树
{
	if (t != null) {
		zhongxu(t.left);
		System.out.print(t.value + " ");// 访问完左节点访问当前节点
		zhongxu(t.right);
	}
}

二叉树的后序遍历：

public void houxu(node t)// 后序遍历 后序遍历：左子树 ---> 右子树 ---> 根结点
{
	if (t != null) {
		houxu(t.left);
		houxu(t.right);
		System.out.print(t.value + " "); // 访问玩左右访问当前节点
	}
}

递归 VS 常见算法

在我们熟知很多算法都与递归有着很大关系。比如dfs深度优先遍历、回溯算法、分治算法等，这里只是简单介绍一下。

递归只是计算机执行一种方式，一个来回的过程，所以这个过程可以被一些算法很巧妙的运用。

分治算法：将问题分解成多个子问题，子问题求解完合并得到结果，这个过程可以使用递归实现(也可能不使用递归)，但大部分会用递归因为实现更加简洁，它和斐波那契递归不同的是它分裂的子问题一般没有重复的(即分完为止而不会重复计算)。常见的快排、归并排序都是使用分治算法，其算法实现借助递归。例如归并排序其流程：

算法实现为：

private static void mergesort(int[] array, int left, int right) {
  int mid=(left+right)/2;
  if(left<right)
  {
    mergesort(array, left, mid);
    mergesort(array, mid+1, right);
    merge(array, left,mid, right);
  }
}

private static void merge(int[] array, int l, int mid, int r) {
  int lindex=l;int rindex=mid+1;
  int team[]=new int[r-l+1];
  int teamindex=0;
  while (lindex<=mid&&rindex<=r) {//先左右比较合并
    if(array[lindex]<=array[rindex])
    {
      team[teamindex++]=array[lindex++];
    }
    else {				
      team[teamindex++]=array[rindex++];
    }
  }
  while(lindex<=mid)//当一个越界后剩余按序列添加即可
  {
    team[teamindex++]=array[lindex++];

  }
  while(rindex<=r)
  {
    team[teamindex++]=array[rindex++];
  }	
  for(int i=0;i<teamindex;i++)
  {
    array[l+i]=team[i];
  }

}

dfs、回溯法 通常想着枚举尽可能多的情况,很多时候我们并不能很好知道运行界限是在哪，并且运行中状态可能会有所变化，所以我们可以写好限定条件使用递归去实现，递归的归过程也可很好的复原去进行其他试探。包过二叉树的前中后遍历都蕴涵dfs算法思想,而回溯算法则是经典全排列、八皇后问题代表。

其流程通常为：

定义回溯算法及参数
- (符合条件)跳出
- (不符合)不跳出：
- - 遍历需要操作的列表&&该元素可操作&&可以继续试探
- - - 标记该元素已使用以及其他操作
- - - 递归调用(参数改变)
- - - 清除该元素标记以及其他操作

此外，递归还在很多算法中有广泛的应用，这里就不具体列举啦！

结语

今天递归就讲到这里啦，学好递归没那么容易，还是要具体掌握各种算法、题目才能慢慢领略递归精髓，递归用好可以写出很多骚代码！

不过实际题目注重效率和便捷，不能盲目追求效率，也不能盲目使用递归不注意算法优化。

汉诺塔动图截取自开源作者isea533的开源作品。

本文收藏再开源数据结构与算法仓库中：

https://github.com/javasmall/bigsai-algorithm

关于作者

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