P3175 [HAOI2015]按位或（Min - Max容斥，FMT，概率期望，全网最清晰的题解！）

Posted 2021-06-30 繁凡さん

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Problem

刚开始你有一个数字 $0$，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字，与你手上的数字进行按位或。选择数字 $i$ 的概率是 $p_i$ 。保证 $0\le p_i\le 1$，$\sum p_i=1$ 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$。

Solution

分析题目，我们每次选择的数是在 $[0,2^n-1]$ 的数，进行按位或运算，显然无论如何选择，手里的数都不会大于 $2^n-1$。我们希望最后手里的数变为 $2^n-1$，即一个 $n$ 位二进制数 $x$ 中所有 $n$ 位全部变成 $1$，因此我们可以将问题抽象成，有一个 $n$ 位二进制数 $x$，开始 $n$ 位上全是 $0$，我们每次选择一个数，可以使得 $x$ 发生变化，最后 $x$ 的所有位全部变为 $1$ 的期望选择次数（时间）。

然后因为选择数字 $i$ 的概率为 $p_i$，我们每次选择数 $i$，使得该二进制数发生一些变化，直到所有二进制数全部变为 $1$，显然我们可以联想到一个类似的问题模型：有 $n\le 20$ 种牌，每种牌无限张，得到第 $i$ 种牌的概率为 $p_i$，问每张牌均至少拥有一张的期望购买次数（时间）。即 HDU4336 Card Collector，我们发现抽象出来问题模型之后，两个问题的模型几乎一模一样！

我们回想 HDU4336 Card Collector 是怎么解决的， $\text{Min - Max}$ 容斥！

我们设 $a_i$ 为得到卡片 $i$ 的期望时间，集合 S = { a i } S=\\{a_i\\} S={ai​}。显然 max ⁡ { S } \\max\\{S\\} max{S} 为得到最后一张卡片的期望时间（此时我们已经得到了所有的卡片，游戏结束），则 min ⁡ { S } \\min\\{S\\} min{S} 为得到第一张卡片的期望时间。

显然有 $\text{Min - Max}$ 容斥：

$$\begin{gathered} \max (S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}\min (T) \\ \min (S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}\max (T) \end{gathered}$$

我们只需要直接爆搜计算集合 $S$ 的所有子集 $T$ 的 $\min (T)=\frac{1}{\sum _{i\in T}{p}_i}$ 即可在 $O(2^n)$ 的时间复杂度下求得 $\max (S)$，即为答案。

显然两个题目的模型是一模一样的，我们考虑使用 $\text{Min-Max}$ 容斥解决本题。

类似的，我们设 $a_k$ 为二进制数 $x$ 的第 $k$ 位变为 $1$ 的期望时间，集合 S = { a i } S=\\{a_i\\} S={ai​}，显然这里的 $S$ 为全集，也就是二进制数 $x$ 的全部 $n$ 位，$S$ 的子集 $T$，表示某几位，也就是二进制数 $x$ 的 $y\le n$ 位。

显然 max ⁡ { S } \\max\\{S\\} max{S} 为二进制数 $x$ 的所有位均为 $1$ 所有的期望时间， min ⁡ { S } \\min\\{S\\} min{S} 为二进制数 $x$ 第一次有位数变为 $1$ 的期望时间。

$$\max (S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}\min (T)$$

同样的，我们只需要计算集合 $S$ 的所有子集 $T$ 的 $\min (T)$ 即可。

显然根据期望公式有：

$$\min (T)=\sum _{i=1}^{+\infty }i\times P(\min (T)=i)$$

其中 $P(\min (T)=i)$ 表示在第 $i$ 秒，集合 $T$ 中第一次出现了 $1$ 的概率，这也就意味着前 $i-1$ 秒内，每一秒，集合 $T$ 中均没有出现 $1$，即集合 $T$ 在全集 $S$ 的补集 $W$ 中出现了 $1$（$W={\complement }_{S}T,W\cap T=\varnothing ,W$

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