求复合(鸽巢定理应用)

Posted 2021-06-30 佐鼬Jun

求复合

Description
小啵的女朋友非常喜欢数字，而小啵的女朋友在和他在闹分手。他拥有n个数字，今天他又获得了一个数字m，小啵需要利用这n个数和数字m求出一个神奇的数ans = ∏1≤i<j≤n|ai−aj|=|a1−a2|⋅|a1−a3|⋅…… ⋅|a1−an|⋅|a2−a3|⋅|a2−a4|⋅…… ⋅|a2−an|⋅…… ⋅|an−1−an|

Input
第一行输入两个数字，n, m;(2≤n≤200000， 1≤m≤1000)；

第二行输入n个数字，a1, a2, a3, …, an;（0≤ai≤1e9)；

Output
一个单独的数字， ∏1≤i<j≤n|ai − aj| mod m；

Sample
Input
2 10
8 5
Output
3
Hint
∏1≤i<j≤n|ai−aj|=|a1−a2|⋅|a1−a3|⋅…… ⋅|a1−an|⋅|a2−a3|⋅|a2−a4|⋅…… ⋅|a2−an|⋅…… ⋅|an−1−an|

思路： 对于$n<=m$，直接两层循环暴力求值即可
对于$n>m$的情况，一定是$0$.
证明: 考虑最坏的情况，对于m个数来说，这m个数取余m,值为0,1,2,…m-1。那还剩下n-m个数，这n-m个数，取余m，也一定在[0,m-1]范围内，所以至少有两个数同模的（取余后模数相同），由于模数相同的两数相减后取余一定是0，所以最后的值一定是0.
证明两个同模的数，相减后取模一定为0
设第一个数为$a+$$k_1$m,由于第二个数和第一个数同模，所以设为$a+$$k_2$m,这两个数相减后为($k_1$-$k_2$)$\ast m$,取绝对值后，是m的倍数，取模后，一定为0.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=200010;
int a[N];

int main() {
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    if(n>m) puts("0");
    else {
        ll ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=i+1;j<=n;j++) {
                ans=ans*abs(a[i]-a[j])%m;
            }
        }
        printf("%d\\n",ans);
    }
    return 0;
}

To be continued
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