对于正弦信号 $x(t) = A \\sin(2 \\pi ft)$ ，我们可以说f是信号的频率，如果采用其频域，则可以看到f的尖峰。如果对信号进行采样以形成离散信号，我们将获得相同的频域，但是在[-π，π]或[0,2π]范围内（对于N点DFT为[0, N]）是周期性的。您可以将图像视为在两个方向上采样的信号。因此，在X和Y方向都进行傅立叶变换，可以得到图像的频率表示。

更直观地说，对于正弦信号，如果幅度在短时间内变化如此之快，则可以说它是高频信号。如果变化缓慢，则为低频信号。您可以将相同的想法扩展到图像。图像中的振幅在哪里急剧变化？在边缘点或噪声。因此，可以说边缘和噪声是图像中的高频内容。如果幅度没有太大变化，则它是低频分量。（一些链接已添加到“其他资源”，其中通过示例直观地说明了频率变换）。

现在，我们将看到如何找到傅立叶变换。

26.3 Numpy中的傅里叶变换

首先，我们将看到如何使用Numpy查找傅立叶变换。Numpy具有FFT软件包来执行此操作。np.fft.fft2()为我们提供了频率转换，它将是一个复杂的数组。它的第一个参数是输入图像，即灰度图像。第二个参数是可选的，它决定输出数组的大小。如果它大于输入图像的大小，则在计算FFT之前用零填充输入图像。如果小于输入图像，将裁切输入图像。如果未传递任何参数，则输出数组的大小将与输入的大小相同。

现在，一旦获得结果，零频率分量（DC分量）将位于左上角。如果要使其居中，则需要在两个方向上将结果都移动 $\\frac{N}{2}$ 。只需通过函数np.fft.fftshift()即可完成。（它更容易分析）。找到频率变换后，就可以找到幅度谱。

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv.imread('../image02/01.jpg', 0)
fft = np.fft.fft2(img)
fft_shift = np.fft.fftshift(fft)  # 频率转换
magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fft_shift))

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

运行结果如下：

看，您可以在中心看到更多白色区域，这表明低频内容更多。

因此，您发现了频率变换现在，您可以在频域中进行一些操作，例如高通滤波和重建图像，即找到逆DFT。为此，您只需用尺寸为60x60的矩形窗口遮罩即可消除低频。然后，使用np.fft.ifftshift()应用反向移位，以使DC分量再次出现在左上角。然后使用np.ifft2()函数找到逆FFT。同样，结果将是一个复数。您可以采用其绝对值。

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv.imread('../image02/02.jpg', 0)
fft = np.fft.fft2(img)  # 利用numpy找到图像的fft
fshift = np.fft.fftshift(fft)  # 频率转换

rows, cols = img.shape  # rows、cols代表图像的行、列，也就是高、宽
crow, ccol = rows // 2, cols // 2
fshift[crow - 30:crow + 31, ccol - 30:ccol + 31] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.fft2(f_ishift)
img_back = np.real(img_back)

plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132), plt.imshow(img_back, 'gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133), plt.imshow(img_back)
plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

运行结果如下（PS：为啥我的这个样子（上图），文档里这个样子（下图）），问题到底出在哪里？

结果表明高通滤波是边缘检测操作。这就是我们在图像渐变一章中看到的。这也表明大多数图像数据都存在于频谱的低频区域。无论如何，我们已经看到了如何在Numpy中找到DFT，IDFT等。现在，让我们看看如何在OpenCV中进行操作。如果您仔细观察结果，尤其是最后一张JET颜色的图像，您会看到一些伪像（我用红色箭头标记的一个实例）。它在那里显示出一些波纹状结构，称为振铃效应。这是由我们用于遮罩的矩形窗口引起的。此掩码转换为正弦形状，从而导致此问题。因此，矩形窗口不用于过滤。更好的选择是高斯窗口。

26.4 OpenCV中的傅里叶变换

OpenCV为此提供了cv.dft()和cv.idft()函数。它返回与前一个相同的结果，但是有两个通道。第一个通道是结果的实部，第二个通道是结果的虚部。输入图像首先应转换为np.float32。我们来看看怎么做。

import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv.imread('../image02/03.jpg', 0)

img = np.float32(img)  # 将图像像素都转换为浮点数

flags = cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT

dft = cv.dft(img, flags=flags)

dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnitude_Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

运行结果如下：

注意：您还可以使用cv.cartToPolar()，它在单个镜头中同时返回幅值和相位

现在我们要做DFT的逆变换。在上一节中，我们创建了一个HPF，这次我们将看到如何删除图像中的高频内容，即我们将LPF应用到图像中。它实际上模糊了图像。为此，我们首先创建一个高值(1)在低频部分，即我们过滤低频内容，0在高频区。

import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv.imread('../image02/04.jpg', 0)

dft = cv.dft(np.float32(img), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows // 2, cols // 2

# 首先创建一个掩码，中心正方形为1，其余全为零
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow - 30:crow + 30, ccol - 30:ccol + 30] = 1

# 应用掩码和逆DFT
fshift = dft_shift * mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv.idft(f_ishift)
img_back = cv.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('Magnitudu Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

plt.show()

运行结果如下：

注意：通常，OpenCV函数cv.dft()和cv.idft()比Numpy函数更快。但是Numpy函数更容易使用。有关性能问题的更多细节，请参见下面的部分。

26.5 DFT的性能优化

对于某些数组尺寸，DFT的计算性能较好。当数组大小为2的幂时，速度最快。对于大小为2、3和5的乘积的数组，也可以非常有效地进行处理。因此，如果您担心代码的性能，可以在找到DFT之前将数组的大小修改为任何最佳大小(通过填充零)。对于OpenCV，您必须手动填充零。但是对于Numpy，您指定FFT计算的新大小，它将自动为您填充零。

那么如何找到最优的大小呢?OpenCV为此提供了一个函数，cv.getOptimalDFTSize()。它同时适用于cv.dft()和np.fft.fft2()。让我们使用IPython命令timeit来检查它们的性能。

In [1]: img = cv.imread('messi5.jpg',0)
In [2]: rows,cols = img.shape
In [3]: print("{} {}".format(rows,cols))
342 548
In [4]: nrows = cv.getOptimalDFTSize(rows)
In [5]: ncols = cv.getOptimalDFTSize(cols)
In [6]: print("{} {}".format(nrows,ncols))
360 576

参见，将大小(342,548) 修改为(360，576) 。现在让我们用零填充（对于OpenCV），并找到其DFT计算性能。您可以通过创建一个新的零数组并将数据复制到其中来完成此操作，或者使用cv.copyMakeBorder()。

nimg = np.zeros((nrows, ncols))
nimg[:rows, :cols] = img

或者：

right = ncols - cols
bottom = nrows - rows
bordertype = cv.BORDER_CONSTANT ＃只是为了避免PDF文件中的行中断
nimg = cv.copyMakeBorder(img, 0, bottom, 0, right, bordertype, value = 0)

现在，我们计算Numpy函数的DFT性能比较：

In [22]: %timeit fft1 = np.fft.fft2(img)
10 loops, best of 3: 40.9 ms per loop
In [23]: %timeit fft2 = np.fft.fft2(img, [nrows, ncols])
100 loops, best of 3: 10.4 ms per loop

它显示了4倍的加速。现在，我们将尝试使用OpenCV函数。

In [24]: %timeit dft1= cv.dft(np.float32(img),flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
100 loops, best of 3: 13.5 ms per loop
In [27]: %timeit dft2= cv.dft(np.float32(nimg),flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
100 loops, best of 3: 3.11 ms per loop

它还显示了4倍的加速。您还可以看到OpenCV函数比Numpy函数快3倍左右。也可以对逆FFT进行测试，这留给您练习。

26.6 为什么拉普拉斯算子是高通滤波器？

在一个论坛上也有人提出了类似的问题。问题是，为什么拉普拉斯变换是高通滤波器?为什么Sobel是HPF?等。第一个答案是关于傅里叶变换的。对于更大的FFT只需要拉普拉斯变换。分析下面的代码：

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

# 没有缩放参数的简单均值滤波器
mean_filter = np.ones((3, 3))
# 创建高斯滤波器
x = cv.getGaussianKernel(5, 10)
gaussian = x * x.T
# 不同的边缘检测滤波器
# x方向上的scharr
scharr = np.array([[-3, 0, 3],
                   [-10, 0, 10],
                   [-3, 0, 3]])
# x方向上的sobel
sobel_x = np.array([[-1, 0, 1],
                    [-2, 0, 2],
                    [-1, 0, 1]])
# y方向上的sobel
sobel_y = np.array([[-1, -2, -1],
                    [0, 0, 0],
                    [1, 2, 1]])
# 拉普拉斯变换
laplacian = np.array([[0, 1, 0],
                      [1, -4, 1],
                      [0, 1, 0]])
filters = [mean_filter, gaussian, laplacian, sobel_x, sobel_y, scharr]
filter_name = ['mean_filter', 'gaussian', 'laplacian',
               'sobel_x', 'sobel_y', 'scharr_x']
fft_filters = [np.fft.fft2(x) for x in filters]
fft_shift = [np.fft.fftshift(y) for y in fft_filters]
mag_spectrum = [np.log(np.abs(z) + 1) for z in fft_shift]
for i in range(6):
    plt.subplot(2, 3, i + 1), plt.imshow(mag_spectrum[i], cmap='gray')
    plt.title(filter_name[i]), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

运行结果如下（PS：我的（上面的）又和它的（下面的）不一样，这是为什么？）：

从图像中，您可以看到每种内核阻止的频率区域以及它允许经过的区域。从这些信息中，我们可以说出为什么每个内核都是HPF或LPF

26.7 附加资源

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