数学问题——素数

Posted 2021-06-30 牧空

方法

• 最基础就是使用小于该整数的所有整数去试着整除这个数$n$
• 进一步,将尝试范围缩小到$\sqrt{n}$
• 使用筛法，找出范围内的所有素数
  • 找到一个素数，就将它的所有倍数均标记为非素数
  • 若遍历到某个数是，若未被任何小于它的素数标记为非素数，则它为素数

代码

基础

bool isPrime(int n){
	if(n == 0 || n == 1) return false;
	for(int i = 2; i * i <= n; i++)
		if(n % i == 0) return fasle;
	return true;
}

在基础之上剪枝

bool isPrime(int n){
    if (n <= 3)   
        return n > 1; 
    if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5)   
        return false;   
    int sq = sqrt(n);
    for (int i = 5; i <= sq; i += 6)
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)        
            return false;   
    return true;
}

筛法

bool isPrime[MAX];  // 标记数组
vector<int> prime;  // 素数数组

void Initial()
{
    for (int i = 0; i < MAX; i++)
    {
        isPrime[i] = true;
    }
    isPrime[0] = false;
    isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i < MAX; i++)
    {
        if (!isPrime[i])
            continue;
        prime.push_back(i);
        for (int j = i * i; j < MAX; j += i)
        {
            isPrime[j] = false;
        }
    }
    return ;
}

对上述代码的几点说明

• 其中prime数组是升序排列的
• 第二层for循环中j = i * i开始是因为在前面的遍历中，2i，3i,...,(i-1)*i(如果i-1也是素数的话)已经被置为非素数了,所以不必要再从i开始