左神讲算法——异或的高级操作(两数交换+经典面试题)

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1. 异或的性质

异或可以看成相同为1,不同为0;也可以看作无进位相加,有奇数个1则结果为1,有偶数个1则结果为0

  1. 异或满足交换律和结合律:a^b=b^a (a^b)^c=a^(b^c)
  2. 任何数与0异或不变:a^0=a
  3. 任何数异或自己为零:a^a=0

2. 两数交换

当我们交换两个数时,可以通过异或的方式进行操作:

//交换两个数
a = a ^ b;	//a=a^b b=b
b = a ^ b;	//b=a^b^b=a^0=a a=a^b
a = a ^ b;	//a=a^a^b=0^b=b

该方式的原理就是通过异或的性质实现的:

  • 第一步中:a=a^b,b=b

  • 第二步中:b=a^b^b=a^0=a,a=a^b

  • 第三步中:a=a^a^b=0^b=b,b=a

由此可见,a和b达到了交换的目的。但请注意:用这种方式的前提是a和b指向不同的内存地址,否则异或会清零,比如我们在数组中使用时,注意i和j不能相同

//交换arr[i]和arr[j]
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}

3. 经典面试例题

例题:在一个数组中,出现了以下两种情况,如何快速求解(规定时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)

  1. 一个数组中,只有一种数出现了奇数次,其余数出现了偶数次,怎么找到该数?
  2. 一个数组中,有两种数出现了奇数次,其余数出现了偶数次,怎么找到这两个数?

1️⃣ 对于第一问,只需要声明一个变量eor初始化为0,然后遍历数组与变量依次异或,最后得到的数即为所求数。为什么?因为异或满足交换律和结合律,遍历数组依次异或相当于与组中所有的数进行了异或,然后可调整顺序,将相同的数调整到一起异或为0,又因为相同的数为偶数个,所以除奇数次以外的数完全抵消了,最后相当于0与奇数次的数异或得到奇数次的数

public static void printOddTimesNum1(int[] arr) {
    int a = 0;
    for (int cur : arr)
        a = a ^ cur;
    System.out.println(a);
}

2️⃣ 对于第二问,我们可以声明两个变量来解决,第一个变量eor1同第一问,遍历数组依次异或,根据交换律结合律。出现偶数次的数两两抵消,最后只会留下出现奇数次的数进行异或,假设这两个数为a和b,所以得到eor=a^b;第二个变量我们声明为eor2,由于a和b是不同的,所以a与b异或的结果eor!=0,因此eor中必有一位为1,显然该位为1是因为a、b中该位的值不同,我们假设该位为第i位,然后我们可以根据第i位是否为1将整个数组分为两部分,这样我们就将ab分开了,如下图所示:
image-20210612074219200
然后我们用eor2只遍历数组中第i位为1的数进行异或,即上图中的左半部分,这样就会得到eor2=a(或者只遍历数组中第i位为0的数进行异或,这样会得到eor2=b)

经过上述的异或计算,我们得到了a异或b的值和其中一个值,然后将eor1eor2进行异或就能得到另一个值:

eor1 = a ^ b
eor2 = a	//或 eor2 = b
eor1 ^ eor2 = a^(a^b) = b

这样我们就求出了两个出现奇数次的数,代码如下所示:

public static void printOddTimes2Num2(int[] arr) {
    int eor1 = 0;
    int eor2 = 0;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        eor1 ^= arr[i]; //得到eor1=a^b
    }
    int rightOne = eor1 & (~eor1 + 1);//提取出eor1最右边的1
    for (int cur : arr) {
        if ((cur & rightOne) == 1)
            eor2 ^= cur; //得到eor2=a或b
    }
    System.out.println("两数分别为:" + eor2 + "," + (eor1 ^ eor2));
}

其中rightOne = eor1 & (~eor1 + 1)是提取出a^b中最右边的那个一,这是常规操作,大家记住即可,如下案例所示帮助理解:

eor1		1 0 1 0 1 1 1 1 0 0
~eor1		0 1 0 1 0 0 0 1 1 1
~eor+1		0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
--------------------------------------
rightOne	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

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