简单稳健估计法——原理与 Python 实现

Posted 2021-06-29 zhuo木鸟

文章目录

• 均值估计
• • 中位数
  • 样本均值
• 稳健标准差
• • MADe
  • nIQR

本文主要参考 ISO 13528 C.2 条款。

设样本为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$。

均值估计

中位数

将样本 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 按升序进行排序，可得： x { 1 } , x { 2 } , ⋯   , x { n } x_\\{1\\}, x_\\{2\\}, \\cdots, x_\\{n\\} x{​1},x{​2},⋯,x{​n}。

则中位数为：
med ( x i ) = { x { n / 2 } + x { n / 2 + 1 } 2 n 是偶数 x { n + 1 2 } n 是奇数 \\text{med}(x_i) =\\left\\{\\begin{array}{c} \\frac{x_\\{n/2\\} + x_\\{n/2+1\\}}{2} & n \\text{是偶数} \\\\ x_\\{\\frac{n+1}{2}\\} & n \\text{是奇数} \\end{array}\\right. med(xi​)={2x{​n/2}+x{​n/2+1}​x{​2n+1​}​n是偶数n是奇数​

样本均值

$$\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$$

稳健标准差

MADe

$$MADe=1.483\times \text{med}(|x_i-\text{med}(x_i)|)$$

nIQR

首先找出 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的上四分位数，和下四分位数，记为 Q3、Q1。前者是使得数据有 1/4 大于（或有可能等于） Q3，其余小于（或有可能等于）Q3 的数据有 3/4 。

Q3 和 Q1 的计算方式为：如果能够直接找到四分位数，则直接取；若找不到，则使用下述公式进行插值：
$$Q=x_j+\frac{x_i-x_j}{\text{fraction}}$$
其中，$\text{fraction}$ 为大于 Q 的数据数。比如 Q3 时为 $\text{fraction}=1/4$， Q1 为$\text{fraction}=3/4$。$x_i,x_j$ 为接近 Q 位置前后两个数 $x_i,x_j$，其中$x_i>x_j$。

例如 $[1,2,3,4]$ 的 Q1 为 1.75，Q3 为 3.25。当然，也可以考虑其他插值方法，如去 $x_i,x_j$ 的中位数，或取最接近 四分位数 的 $x$。

于是 nIQR 为：
$$\text{nIQR}=0.7413\times (Q3-Q1)$$