线性代数小trick(附行列式一些性质)

Posted 2021-06-29 ｡✧* ꧁王者꧂✧*

线性代数小trick

1. 行列式：
   $|a_i^j{|}_n$ = $\left|\begin{array}{ccc}{a}_1^1& ...& a_1^n\\ & ...& \\ a_n^1& ...& a_n^n\end{array}\right|$
   $n$个元素构成的$n$阶行列式：
   通式：$a[i,j]n=$${\sum }_{j_1,j_2...j_n}(-1{)}^{r(j_1,j_2,...,j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n}$ $r(j_1,j_2,...j_n)$表示逆序对个数。 行列式的某些性质：
   $1.$ $a[i,j]n=a[j,i]n$。（行与列交换后的转置行列式和原行列式相同）
   说真的，我找遍了全网，都没找到一个让我满意的证明。于是，献上一份我自己理解的行列变换后行列式值不变的证明（数形结合）：
   首先，这是一种情况：
   我们想一下，求逆序对个数，我们就图像来看怎么求？
   是不是对于每个黑块，我们都要求出它右上方有多少个黑块，那么，它对逆序对个数的贡献就是它的右上和左下方的黑方块数（因为它既与右上的黑方块构成逆序对，又与左下的黑方块构成逆序对）。
   将其翻转后，图像是这样的：
   
   对于上图的逆序对个数，我们还是要求每一个黑方块的右上和左下有多少黑方块，然后，我们就会惊奇地发现，变换后图像中，每一个方块的右上就对应了变换前每一个方块的左下，也就是说，二者等价！！！这样，就可以证明性质1了。
   $2.$交换行列式任意两行，得到$a[i,j]n\ast$，$a[i,j]n=-a[i,j]n\ast$，
   这是因为:对于一组数：$i,a_1,a_2,a_3..a_n,j$,$i!=j$,将$i$与$j$交换，逆序对个数奇偶性相反。
   $3.$行列式中的每一行都乘上k,得到的结果是原来的k倍。
   $4.$对于两个行列式$a,b$，若只有第$i$行不同，那么两者之和为一个新的矩阵的行列式，这个矩阵的第$i$行的对应值为$a_i+b_i$，其他行的值与原来相同，根据加法原理。
   $5.$一个矩阵中，若某两行$i,j$完全相同，那这个矩阵的行列式为$0$，根据性质2可得。
   $6.$一个矩阵，若某两行：$i,j$，变换为：$a[j]=a[j]+k\ast a[i]$,行列式的值不变。根据性质4和性质5可证。
   代数余子式
   在$n$ 阶行列式$D$ 中划去任意选定的$k$ 行、$k(0<k<n)$列后，余下的元素按原来顺序组成的$n-k$ 阶行列式$M$ ，称为$M$ 是其中一个行列式$D$ 的$k$ 阶余子式。
   主子式：去掉的行和列相同。
   范德蒙德行列式
   $D_n$ = $|\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_1^2\\ \\ x_1^{}\end{array}$