第八章 最优性条件
Posted 是璇子鸭
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了第八章 最优性条件相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
内容来自马昌凤编著的《最优化方法及其Matlab程序设计》，文章仅为个人的学习笔记，感兴趣的朋友详见原书。
1.等式约束问题的最优性条件
拉格朗日定理
假设 x ∗ x^* x∗是如下问题的局部极小点
m
i
n
f
(
x
)
min f(x)
minf(x)
s
.
t
.
h
i
(
x
)
=
0
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
s.t. h_i(x)=0, i=1,2,...,l
s.t.hi(x)=0,i=1,2,...,l
f ( x ) f(x) f(x)和 h i ( x ) h_i(x) hi(x)在 x ∗ x^* x∗的某邻域内连续可微。若向量组 ▽ h i ( x ∗ ) ▽h_i(x^*) ▽hi(x∗)线性无关，则存在乘子向量 λ ∗ = ( λ 1 ∗ , λ 2 ∗ , . . . , λ l ∗ ) T λ^*=(λ_{1}^*,λ_{2}^*,...,λ_{l}^*)^T λ∗=(λ1∗,λ2∗,...,λl∗)T，使得
▽ x L ( x ∗ , λ ∗ ) = 0 ▽_xL(x^*,λ^*)=0 ▽xL(x∗,λ∗)=0
即: ▽ f ( x ∗ ) − ∑ λ i ∗ ▽ h i ( x ∗ ) = 0 ▽f(x^*)-∑λ_{i}^*▽h_{i}(x^*)=0 ▽f(x∗)−∑λi∗▽hi(x∗)=0
2.不等式约束问题的最优性条件
本节考虑不等式约束问题的最优性条件：
m
i
n
f
(
x
)
min f(x)
minf(x)
s
.
t
.
g
i
(
x
)
≥
0
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
s.t. g_i(x)≥0, i=1,2,...,m
s.t.gi(x)≥0,i=1,2,...,m
有效集
KT条件
3.一般约束问题的最优性条件
即将上述两种情况结合起来
KT一阶必要条件
例题
定理：设 ( x ∗ , u ∗ , λ ∗ ) (x^*,u^*,λ^*) (x∗,u∗,λ∗)是凸优化问题（f为凸函数，h是线性函数，g是凹函数）的KT点，则 x ∗ x^* x∗必为该问题的全局极小点。
以上是关于第八章 最优性条件的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章