线性代数总结
Posted 卿吟酒
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数总结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
下面是从2020年c班集训学到的线代知识
行列式
定义
由
n
2
n^2
n2 个元素构成的
n
n
n 阶行列式为
∣
a
i
j
∣
n
|a_{ij}|_n
∣aij∣n =
∣
a
11
.
.
.
a
1
n
.
.
.
a
n
1
.
.
.
a
n
n
∣
\\begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{1n} \\\\ &...\\\\ a_{n1}&...&a_{nn} \\end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣a11an1.........a1nann∣∣∣∣∣∣
行列式的值
∑
j
1
j
2
.
.
.
j
n
(
−
1
)
r
(
j
1
j
2
.
.
.
j
n
)
a
1
j
1
a
2
j
2
.
.
.
a
n
j
n
\\sum\\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}
j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn
-
其中 j 1 j 2 . . . j n j_1j_2...j_n j1j2...jn 是 1... n 1...n 1...n 的一个排列
-
r ( j 1 j 2 . . . j n ) r(j_1j_2...j_n) r(j1j2...jn) 是 排列的逆序对个数
转置行列式
设 n n n 阶行列式为 D = ∣ a i j ∣ n D=|a_{ij}|_n D=∣aij∣n 则称行列式 D T = ∣ a j i ∣ n D^T=|a_{ji}|_n DT=∣aji∣n 为 D D D 的转置行列式
性质
性质1.
D T = D D^T=D DT=D
证明：
设
D
T
D^T
DT中的元素为
b
i
j
b_{ij}
bij由定义可得
b
i
j
=
a
j
i
b_{ij}=a_{ji}
bij=aji
新的行列式的值为
∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) b 1 j 1 b 1 j 2 . . . b 1 j n = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a j 1 1 a j 2 2 . . . a j n n \\sum\\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}b_{1j_1}b_{1j_2}...b_{1j_n}\\\\ =\\sum\\limits_{j_1j_2...j_n} (-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{j_11}a_{j_22}...a_{j_nn} j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)b1j1b1j2...b1jn=j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)aj11aj22...ajnn
因为
j
1
j
2
.
.
.
j
n
j_1j_2...j_n
j1