力扣技巧之动态规划力扣300：最大递增子序列C++

Posted 2021-06-29 The Gao

原题

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如 [3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

分析

这道题给定一个的是一个整数数组nums，从中寻找最长递增子序列。子序列是由数组派生而来的序列，与子数组不同，子序列不必须是连续的，只要不改变元素在原数组中的相对位置即可。因为子序列不必须是连续的，采用【滑动窗口】就比较困难。因此，采用动态规划的解法。

采用动态规划的解法，首先要找到状态，其次确定base case，再者定义一个适宜采用动态规划的dp数组，然后要找到状态转移方程，最后求得题解。

在本题中，状态毋庸置疑，就是以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。

base case就是以nums[0]结尾的最长递增子序列，也就是nums[0]本身，因为一个元素既可以说它是递增的，也可以说它是递减的。同时基于此，我们在给dp数组赋初值的时候，给每个nums[i]的元素赋为1，因为对于每个nums[i]，以它作结尾的最长递增子序列长度最小为它本身，即为1。

dp数组的含义就是以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度，与状态相对应。

那么，dp[i]是怎么由dp[i-1]转移过来的呢？dp[i]是以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度，而dp[i-1]是以nums[i-1]结尾的最长递增子序列的长度。如果nums[i]>nums[i-1]的话，那么就可以把nums[i]加到以nums[i-1]结尾的最长递增子序列中，而依然使得该序列为一个最长递增子序列。

那么问题来了，如果nums[i]<=nums[i-1]的话，dp[i]就是1了嘛？其实不是的。因为子序列不要求是连续的，如果nums[i]>nums[i-2]的话，那么可以把nums[i]加到以以nums[i-2]结尾的最长递增子序列中，而依然满足递增子序列的长度。以此类推，所有以下标小于i的元素作结尾的递增子序列都要遍历。

dp数组填充完毕后，对其进行遍历，记录最大值，即为题解。

代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()==0||nums.size()==1)return nums.size();
        /*dp数组的含义是第i个元素处最长递增子序列的长度*/
        vector<int>dp(nums.size(),1);
        /*动态规划*/
        for(int i=1;i<nums.size();i++){
            /*遍历所有以下标小于i的元素作结尾的递增子序列*/
            for(int j=0;j<i;j++){
                /*只有当当前元素nums[i]>nums[j]时才进行本次循环*/
                if(nums[i]>nums[j]){
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
        }
        int maxsize=INT_MIN;
        /*遍历dp数组，记录最大值*/
        for(int i:dp)maxsize=max(maxsize,i);
        return maxsize;
    }
};