Codeforces Round #726 (Div. 2) D. Deleting Divisors(博弈,思维)

Posted 2021-06-29 issue是fw

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题意

$A$和$B$轮流做游戏m初始有个数字$n$

每次选择$n$的的一个因子$x$,其中$x!=1\&\&x!=n$

然后令$n=n-x$,重复,直到哪一方无法操作(是质数),哪一方输

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首先,$sg$打表很容易看出规律

然后我想你应该是想知道为什么,那就继续看吧

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Ⅰ.当$n$为奇数时,$Alice$只能减去奇数因子$D$,设$n=r\ast D$

那么$n-D$是个偶数,且$n-D!=2^k$,因为$(r-1)\ast D!=2^k$(前者的$D$并不能为分解为$2$的次幂)

所以此时$Bob$得到的$n-D$是偶数且具有奇数因子,那么再次减去奇数因子返回奇数给对手

$Alice$总是被迫返回偶数$f$给$Bob$,且$f$是具有奇数因子的偶数

所以$Alice$总是拿到奇数,而质数总是奇数,所以输的是$Alice$

但是特例$2$也是质数,不过前面说到$Bob$每次拿到的都是具有奇数因子的偶数

所以不存在这种情况

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Ⅱ.如果$n$为偶数且具有奇数因子,那么$Alice$使用同样的方法可以赢

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Ⅲ.如果$n$为偶数且没有奇数因子,也就是$n=2^k$

那么$Alice$只能减去$2^{k_1}$,显然$2^k-2^{k_1}$仍然是一个偶数

分解为$2^{k_1}(2^{k-k_1}-1)$,如果$2^{k-k_1}-1$包含奇数因子那么$Alice$就输了

所以$Alice$唯一的选择是令$k_1=k-1$,$Bob$同理

每次把$n$缩小一半,所以此时只需要比较$k$的奇偶性质即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 3e5+10;
int n;
int main()
{
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		scanf("%d",&n );
		int x = 0,f = n;
		while( f%2==0 )	x++,f/=2;
		if( n&1 )	cout << "Bob\\n";
		else if( f!=1 || ( x%2==0 ) )	cout << "Alice\\n";
		else	cout << "Bob\\n"; 
	}
	return 0;
}